89. Геометрические преобразования на практике

Определения и обозначения

Геометрическое преобразование — правило, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие точку-образ. Исходная фигура — та, с которой начинают работу, а фигура из образов её точек называется образом. Например, преобразовав вершины треугольника, можно построить треугольник-образ. Это понятие помогает точно описывать, как меняется расположение фигуры.

Движение — преобразование, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. Если точки A и B переходят в точки A′ и B′, то AB = A′B′. Поэтому отрезки не становятся длиннее или короче, а форма и размеры фигуры остаются прежними. Так можно обосновать, почему фигура и её образ при движении равны.

Осевая симметрия — преобразование относительно прямой, называемой осью симметрии. Ось является серединным перпендикуляром к отрезку, который соединяет точку с её образом. Это означает, что она пересекает отрезок под прямым углом и делит его пополам. Такое определение позволяет построить отражение каждой точки.

Центральная симметрия — преобразование относительно заданной точки, называемой центром симметрии. Эта точка должна быть серединой отрезка между исходной точкой и её образом. Значит, оба конца отрезка находятся на одной прямой с центром и на равных расстояниях от него. По этому правилу можно построить образ любой точки фигуры.

Как это устроено

Преобразование задаёт соответствие точек: каждой точке исходной фигуры назначается своя точка-образ. Чтобы получить образ всей фигуры, нужно применить это правило не к одной точке, а ко всем её точкам. Например, для многоугольника достаточно построить образы вершин и соединить их в прежнем порядке. Так сохраняется понимание того, какие части исходной фигуры соответствуют частям образа.

При движении расстояние между любой парой точек остаётся прежним, поэтому не меняются и длины сторон многоугольника. Его углы также сохраняются: если стороны образуют угол в исходной фигуре, их образы сохраняют такое же взаимное расположение. Следовательно, контур не растягивается и не сжимается, а размеры фигуры не меняются. Именно поэтому исходная фигура и её образ равны, даже если они находятся в разных местах плоскости.

Чтобы построить осевой образ точки, сначала проведи из неё перпендикуляр к оси. Ось пересечёт этот перпендикуляр в точке, которая будет серединой отрезка между исходной точкой и образом. Поэтому от места пересечения нужно отложить по перпендикуляру такое же расстояние, но на другой стороне оси. Проверка проста: отрезок между точками должен быть перпендикулярен оси, а расстояния от обеих точек до неё должны совпадать.

Для центральной симметрии сначала проведи прямую через данную точку и центр. Центр должен оказаться между исходной точкой и образом, потому что он является серединой соединяющего их отрезка. Измерь расстояние от исходной точки до центра и отложи его дальше по той же прямой. Полученная точка будет образом, если отрезки по обе стороны от центра равны.

Правила симметрии полезны не только в задачах. Если дан один фрагмент орнамента и его ось, отражением можно получить недостающую часть узора: каждой точке фрагмента соответствует точка на таком же расстоянии по другую сторону оси. Симметрию предмета проверяют, мысленно или на рисунке сравнивая его части по разные стороны оси либо относительно центра. Построение образов помогает также получать равные изображения, сохраняя расстояния и форму.

Сравнение преобразований плоскости

Сначала посмотри, что задано: прямая указывает на осевую симметрию, а точка — на центральную. Затем выбери способ построения из соответствующей строки и проверь неподвижные элементы. В последней строке приведены примеры, где эти правила пригодятся.

Разбор задач

Построить фигуру, симметричную данному треугольнику относительно заданной прямой.

Пусть исходный треугольник имеет вершины A, B и C, а заданная прямая является осью. Удобнее строить образ каждой вершины отдельно: тогда все точки будут подчиняться одному правилу отражения. После построения останется соединить соответствующие точки. Полученный треугольник будет образом исходного.

1. Проведи через A перпендикуляр к оси и отметь место его пересечения с прямой.
2. Измерь расстояние от A до оси и отложи равное расстояние по перпендикуляру на другой стороне. Обозначь образ вершины как A′.
3. Таким же способом построй образы B′ и C′ для вершин B и C. Для каждой пары исходной точки и её образа ось должна быть серединным перпендикуляром.
4. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, в каком соединены исходные вершины. Это сохраняет контур и соответствие сторон.

Проверка: отрезки AA′, BB′ и CC′ перпендикулярны оси, а ось делит каждый из них пополам. Если эти условия выполнены, точки построены верно. Ответ: треугольник A′B′C′ — фигура, симметричная данному треугольнику относительно заданной прямой.

Построить образ четырёхугольника при центральной симметрии с заданным центром.

Обозначим вершины четырёхугольника A, B, C, D, а центр симметрии — O. Здесь важно не искать ось: центр должен стать серединой каждого отрезка между вершиной и её образом. Поэтому для каждой вершины строится своя прямая через O. Затем образы соединяются в исходном порядке, чтобы стороны не перепутались.

1. Проведи прямую через A и O. На продолжении за точку O отметь A′ так, чтобы OA′ = OA.
2. Повтори построение для B, C и D, получив B′, C′ и D′. Для каждой пары точек центр O должен лежать между ними.
3. Соедини A′, B′, C′ и D′ по порядку. Не меняй порядок вершин: иначе вместо образа четырёхугольника может получиться пересекающийся контур.
4. Проверь, что O — середина каждого отрезка AA′, BB′, CC′ и DD′. Равенство расстояний до центра подтверждает правильность построения.

Ответ: четырёхугольник A′B′C′D′ — образ исходного при центральной симметрии с центром O. Каждая вершина и её образ лежат на одной прямой с центром, а расстояния до центра равны. Поэтому построение выполнено по определению центральной симметрии.

По части орнамента и заданной оси восстановить весь узор и определить, какие его элементы совпадают при отражении.

Представь узор как набор точек и фигур по одну сторону от оси. Чтобы восстановить вторую часть, каждой характерной точке фрагмента нужно найти осевой образ. Если точки лежат на самой оси, они не перемещаются. После отражения отдельных элементов можно сравнить их с теми, которые уже были изображены с другой стороны.

1. Выбери вершины и другие заметные точки каждого элемента орнамента. Для каждой построй перпендикуляр к оси.
2. Отложи от оси на другой стороне равные расстояния и отметь образы точек. При построении не меняй расстояния между точками.
3. Соедини образы так же, как были соединены точки исходного элемента. Полученный контур даст отражённую часть узора.
4. Сравни элементы, расположенные по разные стороны оси. Совпадающими при отражении будут те, чьи точки переходят друг в друга по правилу осевой симметрии.

Ответ: недостающая часть строится как осевой образ данного фрагмента; неподвижными остаются элементы и точки на оси. Проверяй соответствие по равным расстояниям до оси и по сохранению расстояний между точками. Так можно отличить точное отражение от просто похожего рисунка.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при симметрии образ располагается на той же стороне и в том же направлении от оси или центра. Расстояние действительно сохраняется, но точка переносится на противоположную сторону: через ось при осевой симметрии или за центр при центральной. Проверка: ось или центр должны оказаться между точкой и её образом.

Ошибка: строить осевой образ не по перпендикуляру. Её допускают, когда откладывают нужное расстояние в произвольном направлении и не проверяют положение оси. Но ось обязана быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и образом. Проверь прямой угол и равенство расстояний от обеих точек до оси.

Ошибка: путать осевую симметрию с центральной. В первом случае преобразование задаёт прямая, во втором — точка, которая становится серединой отрезка между точкой и образом. Путаница приводит к неверному направлению построения. Перед работой проверь, что дано в условии: ось или центр.

Ошибка: соединять образы вершин в произвольном порядке. Тогда контур может пересечься или не соответствовать исходной фигуре, хотя отдельные точки построены правильно. Причина — забывают, какая вершина какой соответствует. Проверяй названия и соединяй образы в том же порядке, что и исходные вершины.

Связь с другими темами

Для построения симметрии нужны перпендикуляр и середина отрезка: без них нельзя проверить условие осевой или центральной симметрии. Понадобятся также умения сравнивать равные отрезки и работать с треугольниками. Эти знания помогают строить образ аккуратно и обосновывать результат.

Симметрия и другие движения применяются при построении фигур и изучении равенства фигур. Они помогают решать геометрические задачи на построение, разбирать орнаменты и замечать закономерности в окружающих предметах. Понимание движений связывает построение с доказательством того, что форма и размеры сохраняются.

Что запомнить

• Преобразование каждой точки задаёт её образ.
• Движение сохраняет расстояния.
• При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.
• При центральной симметрии центр — середина такого отрезка.
• Образ фигуры строят по образам её точек, в частности вершин.
• Симметрия помогает воспроизводить и проверять форму узоров и предметов.