88. Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых

Определения и обозначения

Параллельный перенос на заданный вектор — соответствие, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A′ так, что отрезок AA′ равен заданному отрезку и направлен так же, как заданная полупрямая. Вектор здесь задаёт сразу длину и направление перемещения. Это определение нужно, чтобы одинаково перемещать любые точки и точно задавать образ каждой из них.

Сонаправленные полупрямые — полупрямые, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой и направленные в одну сторону. Иначе говоря, если мысленно передвигать одну полупрямую параллельно самой себе, её направление совпадёт с направлением другой. Это понятие позволяет указать, какая из сторон прямой задаёт нужное направление переноса.

Противоположно направленные полупрямые — полупрямые, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой и направленные в разные стороны. Их прямые могут быть параллельны, но сами направления не совпадают. Понятие помогает отличить перенос в заданную сторону от перемещения той же длины в обратную.

Как это устроено

Чтобы задать перенос, мало назвать только расстояние: от точки можно отложить его в разных направлениях. Недостаточно и одного направления, потому что на выбранной прямой можно взять отрезки разной длины. Поэтому задают оба условия — длину и направление. Тогда все точки должны смещаться на один и тот же вектор, а не каждая по своему правилу.

Пусть требуется построить образ точки A, а направление показано полупрямой. Через A проводят прямую, параллельную прямой этой полупрямой: так сохраняется направление движения для новой точки. Затем на прямой отмечают сторону, сонаправленную с заданной полупрямой, и откладывают там длину переноса. Конец полученного отрезка обозначают A′, и отрезок AA′ показывает перемещение точки.

Образ точки существует, потому что через неё можно провести параллельную заданному направлению прямую, а на этой прямой — отложить требуемую длину. Такое построение можно выполнить для любой исходной точки. Направление определяет, в какую сторону от неё двигаться, а длина — насколько далеко. Поэтому условие переноса всегда приводит к точке-образу.

Образ не только существует, но и единственен. Через одну точку проходит только одна прямая, параллельная заданному направлению, а на ней заданная сторона выбирается однозначно. На этой стороне отложенный отрезок данной длины имеет только один конец. Если исходная точка лежит на прямой, задающей направление переноса, принцип не меняется: нужную сторону выбирают по направлению заданной полупрямой.

Сонаправленность позволяет описать, в какую именно сторону перемещаются точки. Если вместо заданной полупрямой взять противоположно направленную, длина останется той же, но перенос получится другим — в обратную сторону. Поэтому при сравнении направлений недостаточно проверить, что прямые параллельны. Нужно сопоставить именно полупрямые и убедиться, что они сонаправлены.

Параллельный перенос и направление полупрямых

Сначала найдите, какие объекты сравниваются: прямые или полупрямые. Затем проверьте направление полупрямых и длину перемещения. Для одного и того же переноса необходимы одинаковая длина и сонаправленность.

Разбор задач

Построение образа одной точки

Условие. Дан отрезок MN и полупрямая, задающая направление переноса. Постройте образ точки A при переносе на длину MN. Длина MN задаёт, насколько далеко перемещается точка, а полупрямая показывает сторону. Значит, от A нужен отрезок такой же длины, параллельный заданному направлению.

1. Измерьте отрезок MN или используйте его как мерку циркулем.
2. Через A проведите прямую, параллельную прямой, содержащей заданную полупрямую.
3. На этой прямой выберите сторону, сонаправленную с полупрямой, и отложите от A отрезок длины MN.
4. Обозначьте конец отложенного отрезка A′ и проверьте, что AA′ = MN.

Ответ. Точка A′, построенная в указанном направлении на расстоянии MN от A, — искомый образ. Если отложить ту же длину в другую сторону, получится образ при противоположном переносе.

Образы двух точек

Условие. Постройте образы точек A и B при одном и том же переносе и определите направление и длину отрезков AA′ и BB′. Обе точки должны переместиться по одному правилу, иначе это будут не образы при одном переносе. Сравнение отрезков после построения служит проверкой.

1. Через A и B проведите прямые, параллельные направлению переноса.
2. На каждой прямой выберите сторону, сонаправленную с заданной полупрямой.
3. Отложите на обеих прямых одну и ту же заданную длину и отметьте концы A′ и B′.
4. Сравните AA′ и BB′: они равны и направлены одинаково.

Ответ. Отрезки AA′ и BB′ имеют одинаковую длину и сонаправлены, потому что обе точки перемещены на один и тот же вектор. Если эти признаки не совпали, значит, при построении нарушено условие одного переноса.

Сравнение направлений

Условие. На рисунке указаны полупрямые на параллельных и совпадающих прямых. Разделите их на сонаправленные и противоположно направленные пары и укажите, какие задают один перенос. Одного факта параллельности недостаточно: полупрямые на таких прямых могут смотреть в разные стороны.

1. Для каждой пары проверьте, лежат ли полупрямые на одной прямой или на параллельных прямых.
2. Сопоставьте стрелки: одинаковое направление означает сонаправленность, разное — противоположную направленность.
3. Сравните длины перемещения, если они указаны. Один перенос задают пары с одинаковым направлением и одинаковой длиной.

Ответ. Сонаправленные пары выделяют по совпадению направлений, а противоположные — по движению в разные стороны. Для определения одного переноса дополнительно требуется равенство длин; параллельность прямых сама по себе этого не гарантирует.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые полупрямые на параллельных прямых сонаправленными. Её допускают, потому что путают параллельность прямых с совпадением направления полупрямых. Проверьте, куда указывает каждая полупрямая: если в разные стороны, направления противоположны.

Ошибка: откладывать заданную длину от исходной точки в обе стороны. Так поступают, когда учитывают расстояние, но забывают про заданное направление. Для проверки мысленно сравните направление построенного отрезка с заданной полупрямой: подходящей является только одна сторона.

Ошибка: выбирать образ произвольно на параллельной прямой. Параллельность задаёт только возможную линию движения, а положение точки на ней фиксирует длина переноса. Проверьте расстояние от исходной точки до выбранного образа: оно должно равняться заданному.

Ошибка: думать, что единственность образа означает, будто направление переноса задано само собой. Образ единственен только после того, как уже указаны и длина, и направление. Перед построением проверьте, что оба условия известны; иначе перенос ещё нельзя определить однозначно.

Связь с другими темами

Для построения переноса нужны знакомые понятия прямой, отрезка, полупрямой и параллельных прямых, а также умение откладывать заданный отрезок на луче. Перенос станет одним из примеров движения плоскости: его свойства пригодятся при изучении равенства фигур и геометрических преобразований. Сонаправленность помогает выражать направление перемещения; это связывает построения с понятием вектора.

Что запомнить

• Параллельный перенос задаётся длиной и направлением перемещения.
• При переносе все точки смещаются на один и тот же вектор.
• Образ каждой точки существует.
• При заданном переносе образ каждой точки единственен.
• Сонаправленные полупрямые указывают одно направление.
• Параллельные прямые сами по себе не определяют, сонаправлены ли лежащие на них полупрямые.