87. Параллельный перенос и его свойства

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Иначе говоря, все точки движутся согласованно, без поворота и растяжения фигуры. Такое определение нужно, чтобы отличать перенос всей плоскости от перемещения одной выбранной точки.

Вектор переноса — направленный отрезок, который задаёт и расстояние, и направление перемещения. Для точки A и её образа A′ направленный отрезок AA′ равен вектору переноса. Стрелка здесь важна: отрезки одинаковой длины, направленные в разные стороны, задают разные переносы.

Образ точки — точка, в которую исходная точка переходит при преобразовании; соответствие записывают, например, A → A′. Образ отмечают штрихом, чтобы не перепутать исходную точку с полученной. Это обозначение позволяет точно указывать, какие точки и отрезки сравниваются.

Образ фигуры — фигура, полученная переносом всех точек исходной фигуры на один и тот же вектор. Например, образ треугольника ABC обозначают A′B′C′, где каждой вершине соответствует своя новая точка. Понятие нужно, чтобы обсуждать преобразование целой фигуры, а не только отдельных точек.

Как это устроено

Перенос всей плоскости задаётся одним направленным отрезком: от каждой точки нужно отложить отрезок такой же длины и направления. Почему правило подходит для любой точки? Потому что вектор задаёт одинаковое смещение независимо от того, где расположена точка. Поэтому перемещения не расходятся: ни одна часть фигуры не уходит дальше или в сторону относительно другой.

Рассмотрим отрезок AB и его образ A′B′. Оба конца смещаются на один вектор, поэтому четырёхугольник ABB′A′ получается параллелограммом, если A и B различны и перенос не направлен вдоль AB. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит, AB = A′B′, а эти отрезки параллельны. Если перенос направлен вдоль самого отрезка, его образ может лежать на той же прямой и совпасть с ним.

Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя. Это происходит потому, что все её точки получают одинаковое смещение, а направление самой прямой не поворачивается. Если вектор переноса параллелен прямой, её точки сдвигаются вдоль неё и образуется та же прямая. В остальных случаях получается другая прямая, параллельная исходной.

Расстояние между любыми двумя точками сохраняется: при переносе изменяется положение точек, но не их взаимное расположение. Это можно увидеть на отрезке, соединяющем эти точки: его образ параллелен ему и имеет такую же длину. Поэтому сохранение относится не только к сторонам фигур, но и к расстояниям между любыми выбранными точками плоскости.

Углы также сохраняют величину, потому что их стороны переходят в параллельные им прямые и не меняют взаимного наклона. Вместе с сохранением расстояний это означает, что фигура не становится ни шире, ни уже и не меняет форму. Значит, фигура и её образ равны: соответствующие стороны и углы имеют одинаковые величины. Это свойство используют, чтобы переносом строить равные фигуры и обосновывать равенство их элементов.

Что сохраняется при параллельном переносе

В таблице можно проследить, что происходит с отдельными объектами и свойствами при переносе. Используйте её как проверку: например, после построения образа отрезка сравните его длину с исходной. Для прямой учитывайте оба варианта — она может перейти в другую параллельную прямую или в себя.

Разбор задач

Построить образ точки B

Точка A при переносе переходит в A′. Постройте образ точки B при том же переносе. Из пары A и A′ уже известны направление и расстояние перемещения, поэтому повторяем именно этот вектор, а не выбираем новый отрезок на глаз.

1. Соедините A и A′ направленным отрезком AA′. Стрелка показывает, куда смещаются точки, а длина отрезка показывает величину смещения.

2. Через B проведите прямую, параллельную AA′. Если точки A и A′ совпадают, перенос нулевой и образ B совпадает с B.

3. Отложите от B по направлению стрелки отрезок, равный AA′. Его конец обозначьте B′.

Проверить результат можно по двум признакам: BB′ должно быть параллельно AA′, а длины BB′ и AA′ должны совпадать. Ответ: B′ — точка, полученная переносом B на вектор AA′.

Свойства образа отрезка

При переносе вершины треугольника ABC переходят в A′, B′ и C′. Докажите, что AB = A′B′ и что AB параллелен A′B′ или совпадает с ним. Сравним исходный отрезок с образом, потому что его концы перенесены по одному правилу.

1. Участки AA′ и BB′ равны и направлены одинаково: каждый задаётся одним вектором переноса.

2. Если направление переноса не совпадает с направлением AB, четырёхугольник ABB′A′ — параллелограмм. Его противоположные стороны равны и параллельны.

3. Из свойств параллелограмма следует, что AB = A′B′ и AB параллелен A′B′. Если перенос направлен вдоль AB, отрезки лежат на одной прямой и могут совпасть.

Ответ: длины отрезков равны, а сами отрезки параллельны или совпадают. В доказательстве важно проверить особый случай переноса вдоль отрезка, а не утверждать, что образ всегда лежит на другой прямой.

Построить образ четырёхугольника

Дан четырёхугольник ABCD и вектор переноса. Постройте его образ и обоснуйте, что образ равен исходному четырёхугольнику. Удобно переносить вершины по очереди: после этого останется соединить полученные точки в том же порядке.

1. Через A, B, C и D проведите прямые, параллельные вектору переноса. Направление каждой прямой должно соответствовать стрелке вектора.

2. На каждой прямой отложите от исходной вершины отрезок длиной с вектор переноса. Получите точки A′, B′, C′ и D′, следя, чтобы все четыре отрезка были направлены одинаково.

3. Соедините A′, B′, C′ и D′ по порядку. Получившийся четырёхугольник A′B′C′D′ является образом ABCD.

При переносе сохраняются длины сторон и величины углов, поэтому соответствующие стороны и углы двух четырёхугольников равны. Значит, форма и размеры не меняются, и фигуры равны. Ответ: образ — четырёхугольник A′B′C′D′, равный ABCD.

Типичные ошибки

Ошибка: переносить разные точки на отрезки одинаковой длины, но в разных направлениях. Так делают, когда смотрят только на длину вектора и забывают про его стрелку. Проверьте себя: направленные отрезки от каждой точки к её образу должны быть параллельны, одинаково направлены и равны.

Ошибка: считать вектором переноса прямую, на которой он лежит, и не учитывать направление. Одна и та же прямая допускает два противоположных направления, а они дают разные образы. Перед построением найдите начало и конец стрелки; при проверке убедитесь, что все точки смещены именно туда.

Ошибка: утверждать, что образ прямой всегда является другой прямой. Это неверно, если прямая параллельна направлению переноса: она переходит сама в себя. Чтобы проверить ответ, сравните направление прямой с направлением вектора и рассмотрите случай, когда они параллельны.

Ошибка: объявлять фигуры равными только потому, что они выглядят похоже. Внешнего впечатления недостаточно: нужно опереться на свойства преобразования. Проверьте соответствующие стороны и углы — перенос сохраняет их длины и величины, поэтому фигура и образ действительно равны.

Связь с другими темами

Для изучения переноса нужны знания о параллельных и перпендикулярных прямых, отрезках и углах. Они помогают строить образ и проверять, правильно ли задано направление. При доказательстве равенства фигур пригодятся признаки равенства треугольников: ими можно обосновывать равенство отдельных частей фигуры.

Параллельный перенос применяют в построениях и доказательствах, когда нужно сопоставить фигуру с равной ей фигурой в другом месте плоскости. Он помогает устанавливать равенство соответствующих элементов и служит примером преобразования плоскости. Позже сравнение с переносом помогает понимать, чем отличаются другие преобразования.

Что запомнить

• Перенос задаётся направлением и расстоянием.
• Все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Длины отрезков при переносе сохраняются.
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.
• Углы при переносе сохраняются.
• Фигура и её образ равны.