§ 31. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями x и y и выбранной единицей измерения. Ось x задаёт горизонтальное направление, ось y — вертикальное; на каждой оси отмечают положительное и отрицательное направления. Единица измерения определяет масштаб: например, сколько клеток или сантиметров соответствует одной единице. Такая система позволяет задавать положение точек и перемещения числовым способом.

Координаты вектора — два числа, показывающие, на сколько единиц и в каком направлении нужно переместиться по каждой координатной оси. Их записывают в скобках: (a; b), где a отвечает за горизонтальное перемещение по оси x, а b — за вертикальное по оси y. Это удобно, когда нужно описать вектор без рисунка или сравнить несколько векторов. Отрицательное число указывает направление против положительного направления оси.

Если начало вектора находится в точке A(x₁; y₁), а конец — в точке B(x₂; y₂), то координаты вектора AB равны (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Сначала находят изменение координаты x, затем изменение координаты y. Такой порядок нужен, чтобы описать движение именно от A к B. По этой формуле можно вычислить перемещение, даже если вектор не начинается в начале координат.

Равные векторы — векторы с одинаковыми координатами. У них одинаковые длина и направление, хотя начала могут находиться в разных точках. Поэтому вектор можно переносить параллельно самому себе: его положение изменится, но сам вектор останется равным прежнему. Координаты помогают установить равенство без измерения длины и сравнения рисунков.

Как это устроено

Чтобы задать вектор на координатной плоскости, достаточно указать горизонтальное и вертикальное перемещения. Первое число показывает, насколько нужно сдвинуться вдоль оси x, а второе — вдоль оси y. Такой способ работает потому, что оси перпендикулярны: движение по одной оси не меняет координату по другой. Например, вектор (3; −2) означает сначала сдвиг на 3 единицы вправо, а затем на 2 единицы вниз.

Координаты вектора находят как разности координат конца и начала, потому что перемещение — это изменение положения. Для горизонтальной составляющей сравнивают x-координаты, для вертикальной — y-координаты. Если конечная координата больше начальной, разность положительна; если меньше — отрицательна. Порядок важен: при движении в обратную сторону изменения тоже меняют знак.

Если начало вектора совпадает с началом координат O(0; 0), его координаты совпадают с координатами конца. По формуле для AB получаем (x₂ − 0; y₂ − 0), то есть просто (x₂; y₂). Начало координат не добавляет перемещения по обеим осям. Поэтому этот частный случай позволяет сразу прочитать координаты вектора по точке, в которой он заканчивается.

При переносе вектора параллельно самому себе его координаты не меняются. Перенос сохраняет и направление, и длину, а значит, остаётся прежним перемещение по каждой оси. Меняются координаты точек начала и конца, но разности координат сохраняются. Именно поэтому равные векторы могут быть расположены в разных местах плоскости.

Координаты противоположных векторов отличаются только знаками. Противоположный вектор имеет ту же длину, но направлен обратно, поэтому каждый шаг по оси x или y совершается в противоположную сторону. Если исходный вектор имеет координаты (a; b), противоположный имеет координаты (−a; −b). Например, для (3; −2) противоположным будет (−3; 2).

Как определить координаты вектора

Найдите в таблице ситуацию, которая соответствует задаче, и примените указанное правило. В примерах первое число всегда относится к оси x, второе — к оси y. Проверяйте направление движения и порядок вычитания: это помогает не ошибиться со знаками.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости изобразить вектор с координатами (3; −2). Координаты уже задают нужное перемещение по двум осям, поэтому начинать построение удобно в точке O(0; 0). Нужно следить, что второе число отрицательное: оно задаёт движение вниз. Построение завершится точкой, в которую придём после обоих перемещений.

1. Отметим начало координат O(0; 0).
2. От O переместимся на 3 единицы вправо, потому что первая координата равна 3.
3. От полученной точки переместимся на 2 единицы вниз, так как вторая координата равна −2.
4. Проведём стрелку от O к конечной точке: её направление должно совпадать с выполненным перемещением.

Ответ: вектор направлен из O(0; 0) в точку (3; −2).

Задача 2. Найти координаты вектора AB, если A(−1; 4), B(3; 2). Вектор направлен от точки A к точке B, поэтому координаты нужно вычитать в порядке «конец минус начало». Отдельно считаем изменение по каждой оси, сохраняя знаки координат. Так получится определить не только величину сдвига, но и его направление.

1. Запишем формулу: AB = (xB − xA; yB − yA).
2. Подставим координаты: AB = (3 − (−1); 2 − 4).
3. Вычислим разности: 3 − (−1) = 4, а 2 − 4 = −2.
4. Запишем координаты вектора в порядке x, затем y: AB = (4; −2).

Ответ: AB = (4; −2).

Задача 3. Дан вектор с координатами (−2; 5). Найти координаты равного ему вектора с началом в точке C(1; −3) и координаты его конца. Равенство векторов означает, что новый вектор совершает то же перемещение: на 2 единицы влево и на 5 вверх. Чтобы найти конец, прибавим это перемещение к координатам точки C. Координаты вектора при переносе останутся прежними.

1. Запишем координаты равного вектора: (−2; 5).
2. Прибавим первую координату вектора к x-координате C: 1 + (−2) = −1.
3. Прибавим вторую координату вектора к y-координате C: −3 + 5 = 2.
4. Объединим результаты: конец находится в точке (−1; 2).

Ответ: координаты вектора (−2; 5), конец — точка (−1; 2).

Типичные ошибки

Первая ошибка — вычитать координаты конца из координат начала. Её допускают, если забывают, что AB направлен от A к B, и порядок точек кажется несущественным. Для проверки представьте перемещение: из x = −1 в x = 3 нужно двигаться вправо, значит, первая координата должна быть положительной. Всегда записывайте сначала координаты конца, затем начала.

Вторая ошибка — считать координаты вектора координатами его конца. Так можно делать только тогда, когда начало вектора совпадает с началом координат. Если начало находится в другой точке, нужно найти разности координат конца и начала. Проверьте результат формулой: координаты вектора должны описывать переход от начальной точки к конечной.

Третья ошибка — менять местами координаты x и y. Её легко допустить при записи пары чисел, но первое число задаёт горизонтальный сдвиг, а второе — вертикальный. Чтобы проверить ответ, отдельно проследите движение по каждой оси. Полезно записывать координаты вектора в том же порядке, что и координаты точки: сначала x, затем y.

Четвёртая ошибка — забывать знак при движении влево или вниз. Она возникает, когда считают только число клеток и не учитывают направление оси. Движение вправо и вверх соответствует положительным координатам, а влево и вниз — отрицательным. Проверка простая: сравните начальную и конечную координаты по каждой оси и определите, увеличилась она или уменьшилась.

Связь с другими темами

Для работы с координатами вектора нужно уметь читать координаты точек и откладывать положительные и отрицательные числа на осях. Также важно знать, что такое вектор, где находятся его начало и конец, как задают его направление и что означает равенство векторов. Эти знания помогают перейти от рисунка к вычислениям и обратно. Позже координаты пригодятся при изучении действий с векторами и решении задач о перемещениях на плоскости.

Что запомнить

• У вектора две координаты: первая относится к оси x, вторая — к оси y.
• Координаты вектора AB находят вычитанием: координаты конца минус координаты начала.
• Если начало вектора — начало координат, координаты вектора совпадают с координатами его конца.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• У противоположных векторов соответствующие координаты отличаются знаками.