"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Из каждой вершины треугольника можно провести особый отрезок к противоположной стороне: медиану, биссектрису или высоту. Они отличаются тем, что именно делят или образуют. Три медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести, который делит каждую из них в отношении 2:1. Биссектрисы связаны с центром вписанной окружности, а высоты — с ортоцентром. Эти линии помогают решать задачи и изучать свойства треугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Например, если M — середина BC, то AM — медиана треугольника ABC. У треугольника три медианы: AM, BN и CK, где N и K — середины соответствующих сторон. Такое обозначение помогает не перепутать медиану с любым другим отрезком из вершины.
Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла от вершины до противоположной стороны. Если AD делит угол A на два равных угла, то AD — биссектриса треугольника ABC. Биссектрисы проводят, чтобы изучать деление углов и находить связанные с ними отрезки. Точка пересечения трёх биссектрис является центром вписанной окружности.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Например, высота из A перпендикулярна прямой BC или её продолжению. Слово «прямая» здесь существенно: основание высоты не обязательно лежит на самом отрезке BC. Высоты нужны, в частности, для вычисления площади треугольника.
Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника и обычно обозначается O. Она делит каждую медиану в отношении 2:1: часть от вершины вдвое длиннее части от точки O до середины стороны. Если медианы пересекаются в O, то AO:OM = 2:1. Это свойство позволяет находить неизвестные части медианы по всей её длине.
Для медианы нужна именно середина противоположной стороны, потому что слово «медиана» связано с серединой: она делит эту сторону на два равных отрезка. Если соединить вершину с произвольной точкой стороны, получится просто отрезок, но не обязательно медиана. Проверка проста: нужно убедиться, что оба отрезка, на которые точка делит сторону, равны. Поэтому в задачах сначала ищут середину, а затем проводят к ней отрезок из противоположной вершины.
Биссектриса делит угол пополам, и от этого зависит, где она пересечёт противоположную сторону. Треугольники ABD и ACD имеют основания BD и DC на одной прямой и общую высоту из A, поэтому их площади относятся как BD к DC. С другой стороны, площади можно выразить через две стороны, образующие углы ADB и ADC: эти углы смежные, а при биссектрисе равны прилежащие углы BAD и DAC. В результате получается свойство BD/DC = AB/AC: сторона BC делится пропорционально прилежащим сторонам, а не обязательно пополам.
Высота определяется перпендикулярностью к прямой стороны, а не тем, попадает ли её основание на сам отрезок. В остроугольном треугольнике основания всех высот лежат на сторонах, поэтому высоты проходят внутри. В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами, потому что катеты уже перпендикулярны друг другу. В тупоугольном треугольнике перпендикуляр из острой вершины может попасть на продолжение стороны напротив неё, поэтому высота окажется вне треугольника.
Чтобы понять, почему медианы пересекаются в одной точке, рассмотрим отрезки от вершин к серединам сторон. Через их точку пересечения можно провести вспомогательные параллели; по свойству средней линии и подобию полученных треугольников выясняется, что точка лежит и на третьей медиане. Те же подобные треугольники показывают, что часть медианы от вершины вдвое больше части до середины стороны. Значит, все три медианы имеют общую точку, и каждая делится ею в отношении 2:1.
Расположение этих линий зависит от формы треугольника. У медиан и биссектрис точка пересечения всегда находится внутри: середины сторон и внутренние углы лежат внутри треугольника. Высоты могут встретиться внутри, на вершине или вне треугольника: это зависит от того, остроугольный, прямоугольный или тупоугольный треугольник дан. В равнобедренном треугольнике линия из вершины между равными сторонами совпадает с медианой, биссектрисой и высотой благодаря симметрии фигуры.
| Свойство | Медиана | Биссектриса | Высота |
|---|---|---|---|
| Из какой точки проводится | Из вершины треугольника | Из вершины треугольника | Из вершины треугольника |
| К чему проводится | К середине противоположной стороны | К противоположной стороне | Перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению |
| Главный признак | Делит противоположную сторону пополам | Делит угол при вершине пополам | Образует прямой угол с противоположной стороной или её продолжением |
| Точка пересечения трёх линий | Центр тяжести | Центр вписанной окружности | Ортоцентр |
| Особое свойство | Точка пересечения делит медиану в отношении 2:1 | — | В равнобедренном треугольнике высота из вершины является также медианой и биссектрисой |
Сравнивай линии по тому, что именно они делают: делят сторону, делят угол или образуют прямой угол. Строка о точке пересечения показывает, как называется общий центр трёх линий одного вида. Если по условию известна длина частей медианы, используй её особое отношение 2:1.
Задача 1. В треугольнике ABC медиана AM делит сторону BC на отрезки BM и MC. Найти MC, если BC = 14 см. Поскольку AM — медиана, точка M является серединой BC, то есть BM = MC. Значит, нужно разделить всю длину стороны на две равные части.
Ответ: MC = 7 см. Здесь не требуется знать длину самой медианы: достаточно того, что она проведена к середине стороны. Если бы отрезок из A не был медианой, равенство BM = MC нельзя было бы использовать.
Задача 2. Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на BD и DC. Найти эти отрезки, если AB = 6 см, AC = 9 см, BC = 10 см. Биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим сторонам. Поэтому BD/DC = 6/9 = 2/3, а сумма двух отрезков равна 10 см.
Ответ: BD = 4 см, DC = 6 см. Проверим: 4/6 = 2/3, как и отношение AB/AC. Кроме того, 4 + 6 = 10 см, значит, полученные части составляют всю сторону BC.
Задача 3. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O. Найти AO и OM, если AM = 15 см. Точка O делит медиану AM в отношении 2:1, причём большая часть расположена у вершины A. Значит, вся медиана состоит из трёх равных долей: две приходятся на AO, одна — на OM.
Ответ: AO = 10 см, OM = 5 см. Проверка: 10 + 5 = 15 см и 10:5 = 2:1. Если поменять части местами, отношение от вершины получится неверным.
Первую ошибку допускают, когда медианой называют любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Такой отрезок является медианой только при условии, что его конец — середина стороны. Проверь себя: обозначь части стороны и сравни их длины; они должны быть равны.
Вторая ошибка — считать, что биссектриса делит пополам и угол, и противоположную сторону. Угол она действительно делит на равные части, но точку на стороне определяет отношение прилежащих сторон. Проверь себя по формуле BD/DC = AB/AC: равные части получаются только при AB = AC.
Третья ошибка — искать основание каждой высоты только на стороне внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике перпендикуляр иногда опускают на продолжение стороны, поскольку высота строится к прямой, а не обязательно к отрезку. Продли сторону линейкой и проверь, образует ли высота с ней прямой угол.
Четвёртая ошибка — менять местами части медианы при отношении 2:1. Большая часть всегда идёт от вершины до точки пересечения медиан, а меньшая — от этой точки до середины стороны. Чтобы проверить вычисление, сложи части и сравни с полной длиной медианы, затем проверь их отношение.
Для изучения этих линий нужны понятия треугольника, угла, биссектрисы и перпендикулярных прямых. Также помогает свойство равнобедренного треугольника: оно объясняет, почему из вершины между равными сторонами можно провести общую медиану, биссектрису и высоту. Значит, новая тема опирается на знакомые построения и свойства фигур.
Медианы, биссектрисы и высоты встречаются в доказательствах и вычислениях. С их помощью устанавливают равенство частей и треугольников, находят высоту для вычисления площади, а также изучают центры треугольника. Эти знания пригодятся и в следующих темах геометрии.
Может ли высота треугольника лежать вне самого треугольника?
Да. В тупоугольном треугольнике некоторые высоты падают на продолжения противоположных сторон, поэтому отрезок высоты частично или целиком находится вне треугольника. Высота всегда перпендикулярна прямой, содержащей эту сторону.
Чем медиана отличается от биссектрисы?
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Биссектриса делит пополам угол при вершине, а точка её пересечения со стороной обычно не является серединой этой стороны.
Всегда ли медиана является высотой?
Нет. Медиана указывает на середину противоположной стороны, а высота должна быть перпендикулярна прямой этой стороны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины между равными сторонами, одновременно является высотой.
Почему точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1?
Это следует из свойств треугольников и средних линий: если провести через точку пересечения медиан вспомогательные параллельные отрезки, получаются подобные треугольники. Из их соответствующих сторон выходит, что часть от вершины вдвое длиннее части до середины стороны.
Совпадают ли медианы, биссектрисы и высоты в любом треугольнике?
Нет, в произвольном треугольнике эти линии обычно различаются. В равнобедренном треугольнике линия из вершины между равными сторонами является одновременно медианой, биссектрисой и высотой.
9 класс
