"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных противоположных сторон. Параллельные стороны называют основаниями, а две другие — боковыми. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией: он параллелен основаниям и равен их полусумме. Теорема Фалеса помогает сравнивать отрезки, которые параллельные прямые отсекают на сторонах угла или треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Две другие стороны не параллельны друг другу и называются боковыми. На чертеже трапецию обычно обозначают буквами A, B, C, D, а её стороны записывают как AB, BC, CD и DA.
Основания трапеции — её параллельные стороны. Если AB ∥ CD, то AB и CD являются основаниями, а BC и AD — боковыми сторонами. Такое обозначение нужно, чтобы не перепутать стороны при применении формулы средней линии.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Если точки M и N — середины AD и BC, то MN является средней линией. Она помогает связать длины двух оснований и часто позволяет быстро найти неизвестную величину.
Теорема Фалеса утверждает: если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки. Проще говоря, одинаково расположенные части двух пересечённых сторон относятся друг к другу одинаково. Это правило используют при делении отрезков и решении задач на пропорции.
Распознать трапецию можно по четырём сторонам и одной паре противоположных параллельных сторон. Сначала на чертеже находят параллельные стороны, например AB и CD, и обозначают их основаниями. Оставшиеся стороны AD и BC автоматически становятся боковыми, поэтому нельзя выбирать основания только по их положению сверху и снизу.
Пусть M и N — середины боковых сторон AD и BC, а AC — диагональ трапеции. В треугольнике ADC точки M и N лежат на сторонах AD и AC? Чтобы получить удобное доказательство, лучше рассмотреть диагональ BD: точка M лежит на AD, а точка N — на BC, поэтому напрямую одной средней линией треугольника они не соединяются. Проведём через M прямую, параллельную основаниям, и заметим, что она проходит через N: это следует из равенства соответствующих отрезков и единственности параллельной прямой через точку.
Более наглядно доказательство получается после продолжения боковых сторон до пересечения или разбиения трапеции диагональю на два треугольника. В каждом образовавшемся треугольнике используются середины соответствующих сторон, а теорема о средней линии треугольника даёт параллельность нужного отрезка основанию. Поскольку оба основания трапеции параллельны, средняя линия параллельна им обоим.
Пусть основания имеют длины a и b, а средняя линия — m. В треугольниках, полученных при проведении диагонали, средняя линия выражается через половины сторон; сложение этих равенств даёт 2m = a + b. Поэтому m = (a + b) / 2: длина средней линии равна полусумме оснований.
Теорему Фалеса применяют к сторонам угла, если несколько параллельных прямых пересекают обе стороны. Её также используют в треугольнике: прямая, параллельная одной стороне, отсекает на двух других сторонах пропорциональные отрезки. Чтобы построить деление стороны на равные части, из одной вершины проводят вспомогательный луч, откладывают на нём нужное число равных отрезков, а затем соединяют последнюю точку с концом данной стороны; через промежуточные точки проводят параллельные линии.
Таблица собрана как краткая памятка: сначала ищите определение, затем свойство или формулу. Буквы a и b обозначают основания, а m — среднюю линию. При решении задачи проверьте, какие отрезки известны, и подставьте их в подходящее равенство.
| Понятие или свойство | Что важно знать |
|---|---|
| Основания трапеции — параллельные стороны | Это две противоположные стороны, имеющие общее направление. |
| Боковые стороны — непараллельные стороны | Они соединяют концы разных оснований. |
| Средняя линия соединяет середины боковых сторон | Её концы находятся ровно посередине боковых сторон. |
| Средняя линия параллельна основаниям | Она имеет то же направление, что и оба основания. |
| Длина средней линии равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2 | Нужно сложить длины оснований и разделить сумму на два. |
| Теорема Фалеса связывает отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на сторонах угла | Соответствующие отрезки образуют пропорцию. |
Условие: основания трапеции равны 6 см и 10 см. Найдём среднюю линию. Здесь известны оба слагаемых в формуле, поэтому достаточно вычислить их полусумму.
Ответ: 8 см.
Условие: средняя линия равна 9 см, одно основание — 7 см. Требуется найти второе основание. Неизвестную длину обозначим буквой b и выразим её из основной формулы.
Ответ: 11 см. Проверка: (7 + 11) / 2 = 9 см.
Условие: параллельная основанию прямая делит одну сторону треугольника на отрезки 4 см и 6 см, а соответствующий отрезок на другой стороне от вершины равен 5 см. Найдём оставшуюся часть второй стороны по теореме Фалеса.
Ответ: 7,5 см. Важно сопоставлять отрезки, отсекаемые одними и теми же параллельными прямыми.
Основаниями иногда называют непараллельные стороны, потому что на рисунке они могут выглядеть длиннее или располагаться горизонтально. Но основание определяется не длиной и не положением, а параллельностью. Проверьте себя: основания должны иметь знак ∥.
Среднюю линию нередко проводят между серединами оснований. Это неверно: она соединяет середины именно боковых сторон. Найдите середины боковых сторон и убедитесь, что концы искомого отрезка лежат на них.
В формуле m = (a + b) / 2 иногда забывают разделить сумму на два или складывают основание с боковой стороной. Сверьте состав формулы: в ней участвуют только два основания. При проверке средняя линия должна быть не меньше меньшего основания и не больше большего.
При использовании теоремы Фалеса в пропорцию ставят несоответствующие отрезки. Ошибка возникает, если не проследить, между какими параллельными прямыми лежит каждая часть. Подпишите отрезки на каждой стороне и сопоставляйте одинаково расположенные части.
Для изучения темы понадобятся признаки и свойства параллельных прямых, а также умение находить середину отрезка. Доказательство свойства средней линии трапеции опирается на среднюю линию треугольника. Теорема Фалеса требует навыка составления пропорций и позже пригодится в задачах на подобие треугольников, деление отрезков и нахождение длин в многоугольниках.
Какие стороны трапеции называются основаниями?
Основаниями называют две противоположные параллельные стороны трапеции. Две оставшиеся, непараллельные стороны являются боковыми.
Как провести среднюю линию трапеции?
Нужно найти середину каждой боковой стороны. Затем соединить эти две точки отрезком — он и будет средней линией трапеции.
Почему средняя линия трапеции параллельна её основаниям?
Если провести диагональ, средняя линия окажется средней линией одного из образовавшихся треугольников. По теореме о средней линии треугольника она параллельна третьей стороне, то есть основанию трапеции; другое основание параллельно ему по условию.
Как найти основание трапеции, если известны средняя линия и другое основание?
Используйте формулу m = (a + b) / 2. Неизвестное основание равно 2m минус известное: b = 2m − a.
Как понять, какие отрезки нужно поставить в пропорцию по теореме Фалеса?
Сначала определите, на какой стороне угла или треугольника лежит каждый отрезок. Затем сопоставьте отрезки, заключённые между одними и теми же параллельными прямыми: именно такие пары ставят в пропорцию.
§ 30. Трапеция. Средняя линия трапеции. Теорема Фалеса
