§ 29. Применение векторов к решению задач. Средняя линия треугольника. Теорема о пересечении медиан треугольника

Определения и обозначения

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она лежит внутри треугольника и проходит между этими сторонами, а её направление связано с третьей стороной. Чтобы распознать среднюю линию, нужно проверить, что оба конца отрезка находятся именно в серединах сторон.

Теорема о средней линии треугольника утверждает: средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины. Третьей называют сторону, на которой не лежат концы средней линии. Теорема помогает находить неизвестные длины и доказывать параллельность.

Медиана треугольника — отрезок, проведённый из вершины к середине противоположной стороны. У каждого треугольника три вершины, поэтому можно провести три медианы. Медиана делит треугольник на две части, а её середина на стороне задаёт конец отрезка.

Теорема о пересечении медиан треугольника утверждает, что все три медианы проходят через одну точку. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины: часть у вершины вдвое длиннее части у противоположной стороны. Теорема позволяет находить части медиан и доказывать, что точка лежит на нескольких медианах.

Как это устроено

Чтобы описывать треугольник векторами, выберем начало отсчёта и обозначим радиус-векторы вершин A, B, C через a, b, c. Радиус-вектор точки показывает её положение относительно начала отсчёта. Вектор из X в Y равен разности радиус-векторов конца и начала: XY = y − x. Поэтому геометрические отрезки можно сравнивать, выполняя действия с их векторами.

Если M — середина AB, то отрезки AM и MB равны и направлены одинаково, значит, векторы AM и MB равны. Подставляя разности радиус-векторов, получаем m − a = b − m, откуда m = (a + b) / 2. Иными словами, радиус-вектор середины — среднее арифметическое радиус-векторов концов. Это правило позволяет заменить сведения о середине удобной формулой.

Пусть M и N — середины AB и AC. Тогда m = (a + b) / 2, а n = (a + c) / 2, поэтому MN = n − m = (c − b) / 2 = ½BC. Вектор MN является половиной вектора BC, следовательно, он направлен вдоль BC и имеет вдвое меньшую длину. Так из формулы одновременно следуют параллельность и равенство MN = BC / 2.

Формулу середины можно применить к каждой стороне: для середин AB, BC и AC получаются соответственно (a + b) / 2, (b + c) / 2 и (a + c) / 2. Это важно при изучении медиан: каждая из них идёт от вершины к середине противоположной стороны. Зная радиус-вектор этой середины, можно записать любой участок медианы через вычитание радиус-векторов.

Обозначим радиус-вектор середины BC через m = (b + c) / 2 и рассмотрим точку G с радиус-вектором g = (a + b + c) / 3. Получаем g = a + ⅔(m − a), то есть AG составляет две трети AM, а оставшаяся часть GM — одну треть AM. Точка G лежит на медиане AM и делит её в отношении 2:1 от вершины. Та же формула симметрична относительно a, b и c, поэтому G лежит и на двух других медианах.

Средняя линия и медианы треугольника

Сначала смотри на то, какие именно точки соединяет отрезок: это отличает среднюю линию от медианы. Затем используй нужную колонку, чтобы выбрать свойство для вычисления или доказательства. Отношение 2:1 относится к медиане и отсчитывается от вершины.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC. Докажите, что MN параллельна BC и MN = BC / 2. Удобно сравнить векторы MN и BC: для этого выразим радиус-векторы M и N через концы сторон. Так сразу станет видно и направление средней линии, и её длина.

1. Обозначим радиус-векторы вершин через a, b, c. По формуле середины m = (a + b) / 2 и n = (a + c) / 2.
2. Найдём вектор MN: n − m = (a + c) / 2 − (a + b) / 2 = (c − b) / 2.
3. Так как c − b = BC, вектор MN равен половине вектора BC. Значит, отрезки параллельны, а длина MN равна BC / 2.

Ответ: MN ∥ BC и MN = BC / 2.

Задача 2. В треугольнике ABC точки M и N — середины AB и AC. Если BC = 14 см, найдите MN и обоснуйте ответ. Концы MN — середины двух сторон, значит, по определению это средняя линия. Для её длины используем теорему о средней линии, а не сравниваем её с AB или AC.

1. Проверяем условие: M и N являются серединами разных сторон треугольника, поэтому MN — средняя линия.
2. Средняя линия равна половине третьей стороны BC. Вычисляем: MN = 14 / 2 = 7 см.
3. Проверяем, что использована именно сторона, не содержащая M и N: такой стороной является BC.

Ответ: MN = 7 см.

Задача 3. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке G. Докажите, что G лежит на медиане AM и AG:GM = 2:1. Здесь M — середина BC, поскольку AM является медианой из A. Векторная запись позволит задать точку G на этой медиане и проверить отношение частей.

1. Пусть радиус-векторы A, B, C равны a, b, c. Так как M — середина BC, её радиус-вектор m = (b + c) / 2.
2. Зададим точку G радиус-вектором g = (a + b + c) / 3. Тогда g = a + ⅔(m − a), то есть AG = ⅔AM.
3. Оставшаяся часть GM составляет ⅓AM. Поэтому AG:GM = ⅔:⅓ = 2:1; симметричная формула для вершин показывает, что эта же точка лежит на остальных медианах.

Ответ: G лежит на AM и AG:GM = 2:1.

Типичные ошибки

Можно назвать средней линией отрезок, соединяющий точки на двух сторонах, не проверив, что они середины. Так происходит, когда ориентируются только на расположение отрезка внутри треугольника. Проверь, что каждая точка делит свою сторону на два равных отрезка.

Иногда среднюю линию считают параллельной стороне, на которой лежат её концы. Но по свойству она параллельна третьей стороне, не содержащей концов средней линии. Чтобы проверить себя, назови две стороны, середины которых соединены, а затем укажи оставшуюся сторону.

Ещё одна ошибка — приравнять среднюю линию половине одной из сторон, чьи середины она соединяет. В теореме речь идёт о третьей стороне; путаница возникает из-за того, что в условии перечислены сразу три стороны. Перед вычислением отметь, какая сторона не содержит концы средней линии.

При делении медианы иногда записывают отношение 1:2. Это может случиться, если части перечисляют от середины стороны к вершине, а не от вершины. Сверь порядок: у вершины часть длиннее и составляет две доли, у середины противоположной стороны — одну.

Связь с другими темами

Для векторных доказательств нужны обозначение вектора, правила сложения и вычитания, умножение вектора на число и условие равенства векторов. Также нужно уметь находить середину отрезка и знать свойства параллельных прямых и пропорциональных отрезков. Эти знания помогают перейти от геометрического рисунка к вычислениям. Векторный способ пригодится и в задачах о других фигурах, а позднее — при изучении координатного метода.

Что запомнить

• Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника.
• Средняя линия параллельна третьей стороне.
• Длина средней линии равна половине длины третьей стороны.
• Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Все три медианы пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.