§ 32. Координатная запись действий над векторами. Уравнение окружности

Определения и обозначения

Координаты вектора — числа, показывающие, на сколько единиц нужно переместиться по каждой координатной оси, чтобы задать вектор. Например, вектор (3; −2) задаёт перемещение на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Координаты помогают описывать направление и длину перемещения численно.

Координатная запись суммы векторов — правило, по которому складывают соответствующие координаты двух векторов. Если a = (a₁; a₂), b = (b₁; b₂), то a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Это позволяет находить результат перемещения без построения чертежа.

Координатная запись произведения вектора на число — правило умножения каждой координаты вектора на данное число. Для числа k и вектора a = (a₁; a₂) получается ka = (ka₁; ka₂). Так можно изменить длину вектора, а при отрицательном множителе — ещё и его направление.

Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек окружности и не удовлетворяют координаты точек вне неё. Для центра C(a; b) и радиуса R оно записывается так: (x − a)² + (y − b)² = R². По этому равенству можно составить окружность или проверить, принадлежит ли ей точка.

Как это устроено

Чтобы найти координаты вектора AB, нужно сравнить положение конца B с положением начала A. По горизонтали перемещение равно разности абсцисс, то есть x₂ − x₁, а по вертикали — разности ординат y₂ − y₁. Поэтому AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Порядок вычитания связан с направлением движения: мы идём от начала к концу, значит, сначала берём координаты конечной точки.

Представь два последовательных перемещения: сначала на a единиц по горизонтали и b по вертикали, затем на c по горизонтали и d по вертикали. Общий горизонтальный сдвиг равен a + c, а вертикальный — b + d. Поэтому координаты векторов складывают отдельно: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Складывать координаты крест-накрест нельзя: они отвечают за перемещения в разных направлениях.

Вычитание векторов можно представить как сложение с противоположным вектором: a − b = a + (−b). У вектора −b каждая координата меняет знак, поэтому из соответствующих координат одного вектора вычитают координаты другого. Умножение на число тоже следует из правила сложения: умножить перемещение на k — значит повторить его k раз, а для отрицательного k двигаться в противоположную сторону. В результате ka = (ka₁; ka₂), то есть множитель действует на обе координаты.

Окружность состоит из точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от её центра. Если центр обозначить C, а радиус — R, то для любой точки P окружности выполняется CP = R. Это условие отличает окружность от её внутренней области: у точек внутри расстояние до центра меньше радиуса, а у точек снаружи — больше.

Пусть центр окружности имеет координаты C(a; b), а произвольная точка окружности — P(x; y). По формуле расстояния между точками CP = √((x − a)² + (y − b)²). Приравняем расстояние к радиусу R и возведём обе части в квадрат: (x − a)² + (y − b)² = R². Так получается уравнение окружности, в котором координаты центра задают числа a и b, а радиус задаёт R².

Координатные правила для векторов и уравнение окружности

В таблице сначала найди нужное действие или объект, затем используй соответствующую запись. Векторные правила применяются отдельно к первой и второй координатам. В уравнении окружности x и y — переменные координаты точки, а a, b и R задаются центром и радиусом.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы a = (2; −3) и b = (−1; 4). Найдите координаты a + b и 2a. В обоих действиях работаем с первой координатой отдельно от второй. Для суммы складываем соответствующие числа, а для произведения умножаем на 2 каждую координату вектора a.

1. Сложим первые координаты: 2 + (−1) = 1, затем вторые: −3 + 4 = 1. Значит, a + b = (1; 1).
2. Умножим первую координату a на 2: 2 · 2 = 4, а вторую: 2 · (−3) = −6. Получаем 2a = (4; −6).

Ответ: a + b = (1; 1), 2a = (4; −6). Отрицательная вторая координата вектора 2a сохранила знак, потому что положительное число умножили на отрицательное.

Задача 2. Точка A(−2; 1), а вектор AB имеет координаты (5; −3). Найдите координаты точки B. Координаты вектора получаются вычитанием координат начала из координат конца. Поэтому, чтобы восстановить конец, нужно к координатам начала прибавить координаты вектора.

1. Для абсциссы точки B прибавим к абсциссе A первую координату вектора: −2 + 5 = 3.
2. Для ординаты B прибавим ко второй координате A вторую координату вектора: 1 + (−3) = −2.
3. Запишем координаты найденной точки в порядке «абсцисса; ордината»: B(3; −2).

Ответ: B(3; −2). Проверка: (3 − (−2); −2 − 1) = (5; −3), то есть координаты AB совпали с условием.

Задача 3. Составьте уравнение окружности с центром C(2; −1) и радиусом 3. Проверьте, лежит ли точка P(4; 1) на этой окружности. В формуле (x − a)² + (y − b)² = R² подставим координаты центра вместо a и b, а вместо R — радиус. Затем проверим равенство, подставив координаты P.

1. Подставим a = 2, b = −1 и R = 3: (x − 2)² + (y − (−1))² = 3².
2. Упростим запись: (x − 2)² + (y + 1)² = 9. Это уравнение заданной окружности.
3. Для точки P подставим x = 4 и y = 1: (4 − 2)² + (1 + 1)² = 2² + 2² = 8. Поскольку 8 ≠ 9, равенство не выполняется.

Ответ: уравнение окружности — (x − 2)² + (y + 1)² = 9; точка P(4; 1) окружности не принадлежит.

Типичные ошибки

При нахождении координат вектора иногда вычитают координаты начала из координат конца в обратном порядке. Так получают вектор противоположного направления, потому что меняют порядок точек. Всегда сверяйся с правилом «конец минус начало» и, если возможно, проверяй результат по направлению перемещения.

При сложении или вычитании векторов можно случайно соединить координаты по диагонали. Это происходит, если не следить за тем, что первая координата отвечает за горизонтальное, а вторая — за вертикальное перемещение. Проверка простая: первые координаты обрабатывай только с первыми, вторые — только со вторыми.

При умножении вектора на число иногда умножают только одну координату. Обычно это случается, когда запись воспринимают как действие только с первым числом в паре. Множитель относится ко всему вектору, поэтому выполни умножение отдельно для каждой координаты и проверь, что в ответе осталась пара чисел.

В уравнении окружности можно забыть квадраты или неверно раскрыть скобки, например потерять знак перед координатой центра. Причина — попытка запомнить запись, не связывая её с формулой расстояния. Составляй уравнение из равенства квадрата расстояния квадрату радиуса и подставляй координаты центра в скобки внимательно: (x − a) и (y − b).

Связь с другими темами

Для работы с векторами и окружностью нужно уметь читать координаты точек на плоскости и находить расстояние между двумя точками. Формула расстояния объясняет, откуда берётся уравнение окружности: расстояние от её центра до каждой точки равно радиусу. Знание координат помогает заменить геометрические рассуждения вычислениями.

Координатные действия над векторами пригодятся в координатном методе — способе решать геометрические задачи с помощью координат. Вектор удобно использовать для описания перемещений: его координаты показывают, как меняется положение точки. Сложение таких перемещений позволяет находить итоговый сдвиг.

Уравнение окружности связано с уравнением прямой: оба уравнения задают геометрические фигуры на координатной плоскости. Их используют, чтобы исследовать, где фигуры пересекаются или расположены относительно друг друга. Позже эти записи помогут решать задачи о взаимном расположении геометрических фигур.

Что запомнить

• Координаты вектора — координаты его конца минус координаты начала.
• При сложении и вычитании векторов действия выполняют с соответствующими координатами.
• При умножении вектора на число умножают каждую его координату.
• Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от её центра.
• Для окружности с центром C(a; b) и радиусом R выполняется (x − a)² + (y − b)² = R².
• Точка лежит на окружности, если её координаты удовлетворяют уравнению окружности.