§ 33. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Основное тригонометрическое тождество

Определения и обозначения

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; его обозначают sin α. Противолежащим называют катет, который лежит напротив выбранного угла. Синус позволяет узнать, какую долю гипотенузы составляет этот катет.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; обозначение — cos α. Прилежащий катет образует выбранный угол вместе с гипотенузой. Косинус показывает, какую долю гипотенузы составляет этот катет.

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему; обозначают tg α. В этом отношении сравниваются два катета, а гипотенуза не используется. Тангенс помогает связать катеты друг с другом.

Котангенс острого угла — отношение прилежащего катета к противолежащему; обозначение — ctg α. Это отношение катетов в обратном порядке по сравнению с тангенсом. С его помощью также можно сравнить длины катетов относительно выбранного угла.

Как это устроено

Чтобы различить катеты, сначала выбери острый угол прямоугольного треугольника. Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, а прилежащий к выбранному острому углу катет имеет с ним общую вершину. Оставшийся катет находится напротив выбранного угла, поэтому называется противолежащим. Если выбрать другой острый угол, роли катетов поменяются.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса определяются углом, а не размерами треугольника. Представь два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом: второй можно получить из первого увеличением или уменьшением. Такие треугольники подобны, потому что у них равны прямой угол и выбранный острый угол. При подобии все соответствующие стороны меняются во столько же раз, поэтому отношения сторон остаются одинаковыми.

Связи тангенса и котангенса с синусом и косинусом следуют прямо из определений. Если противолежащий катет обозначить a, прилежащий — b, а гипотенузу — c, то sin α = a/c, а cos α = b/c. Деление синуса на косинус даёт (a/c)/(b/c) = a/b, то есть tg α; аналогично cos α / sin α = b/a = ctg α.

Основное тригонометрическое тождество получается из теоремы Пифагора. Для катетов a и b и гипотенузы c имеем a² + b² = c². Разделим обе части на c²: a²/c² + b²/c² = 1; поскольку a/c и b/c — синус и косинус выбранного угла, получаем sin² α + cos² α = 1.

Тождество помогает найти синус или косинус, если известна другая величина. Например, из sin² α + cos² α = 1 следует cos² α = 1 − sin² α, а затем можно извлечь корень. Для острого угла и синус, и косинус положительны, поэтому выбирают положительное значение. Если известен косинус, так же находят sin α = √(1 − cos² α).

Тригонометрические отношения острого угла

Сначала найди в таблице нужную величину, затем определи стороны относительно выбранного угла. Формулы в третьем столбце позволяют переходить от одной величины к другой или проверять вычисления. Делить одно отношение на другое удобно, когда в задаче известны синус и косинус.

Разбор задач

1. Катеты 3 и 4, гипотенуза 5

Нужно найти синус и косинус угла, противолежащего катету 3. Здесь важно не перепутать катеты: указанный катет лежит напротив угла, а второй катет образует угол с гипотенузой. Поэтому сначала назначаем роли сторон, а потом используем определения.

1. Противолежащий катет равен 3, прилежащий — 4, гипотенуза — 5.
2. По определению sin α = 3/5.
3. По определению cos α = 4/5.

Ответ: sin α = 3/5, cos α = 4/5. Проверка: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1, как и должно быть по основному тождеству.

2. Известно, что sin α = 3/5

Требуется найти косинус острого угла. Из определения синуса уже известно отношение противолежащего катета к гипотенузе, но стороны треугольника находить необязательно. Используем основное тождество, которое связывает синус и косинус напрямую.

1. Подставляем синус: (3/5)² + cos² α = 1.
2. Получаем cos² α = 1 − 9/25 = 16/25.
3. Извлекаем корень: cos α = ±4/5. Так как угол острый, cos α положителен, значит cos α = 4/5.

Ответ: cos α = 4/5. Знак выбирается не наугад: для острого угла прилежащий катет и гипотенуза положительны, поэтому их отношение тоже положительно.

3. Гипотенуза 13, sin α = 5/13

Найти второй катет, косинус, тангенс и котангенс угла. Синус показывает отношение противолежащего катета к гипотенузе, поэтому по нему можно восстановить длину этого катета. Затем теорема Пифагора даст длину оставшегося катета, после чего подставим стороны в определения.

1. Противолежащий катет равен 13 · 5/13 = 5.
2. Второй катет: √(13² − 5²) = √144 = 12.
3. Прилежащий катет равен 12, поэтому cos α = 12/13.
4. tg α = 5/12, а ctg α = 12/5.

Ответ: второй катет равен 12; cos α = 12/13, tg α = 5/12, ctg α = 12/5. Проверим: противолежащий катет действительно равен 5, а отношение прилежащего к нему катета равно 12/5.

Типичные ошибки

Ошибка — считать катет прилежащим или противолежащим постоянно, независимо от угла. Так можно ошибиться, если в задаче рассматривают другой острый угол. Перед вычислением отметь выбранный угол: прилежащий катет касается его, а противолежащий лежит напротив.

Иногда в определении синуса или косинуса в знаменатель ставят катет. Это происходит, когда путают разные отношения сторон. Проверь себя по определениям: у синуса и косинуса знаменатель всегда гипотенуза, а у тангенса и котангенса в отношении участвуют два катета.

Тангенс могут ошибочно принять за обратную величину синуса. Но 1/sin α — это не тангенс: по определению tg α = противолежащий катет / прилежащий, а ещё tg α = sin α / cos α. Чтобы проверить вычисление, выпиши отношение двух катетов, а не гипотенузы и катета.

При нахождении косинуса из равенства cos² α = 1 − sin² α иногда оставляют знак ± после извлечения корня. Для острого угла это лишний выбор: косинус положителен, поскольку является отношением длин положительных сторон. Подставь найденное значение в тождество и убедись, что оно подходит.

Связь с другими темами

Для изучения отношений нужны понятия прямоугольного треугольника, катетов и гипотенузы, теорема Пифагора и подобие треугольников. Синус, косинус, тангенс и котангенс применяют, чтобы находить стороны прямоугольного треугольника и решать задачи на высоты и расстояния. Основное тождество помогает преобразовывать тригонометрические выражения и станет опорой при изучении тригонометрии в старших классах.

Что запомнить

• sin α — противолежащий катет, делённый на гипотенузу.
• cos α — прилежащий катет, делённый на гипотенузу.
• tg α = противолежащий катет / прилежащий катет.
• ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет.
• tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α.
• Для острого угла sin² α + cos² α = 1.