§ 34. Вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике

Определения и обозначения

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; обозначается sin A. Противолежащим называют катет, который находится напротив угла A. Синус помогает сравнить этот катет с самой длинной стороной треугольника.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; обозначается cos A. Прилежащий катет образует угол A вместе с гипотенузой. Косинус показывает, какую часть гипотенузы составляет этот катет.

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему; обозначается tg A. В этом отношении сравниваются два катета, а гипотенуза не участвует. Тангенс используют, когда нужно сопоставить катеты относительно угла A.

Котангенс острого угла — отношение прилежащего катета к противолежащему; обозначается ctg A. Это отношение катетов, записанное в обратном порядке по сравнению с тангенсом. Оно нужно, когда известно, во сколько раз прилежащий катет больше или меньше противолежащего.

Как это устроено

Сначала для выбранного острого угла находят гипотенузу и два катета. Гипотенуза определяется прямым углом: она всегда лежит напротив него и не меняется при выборе угла A или другого острого угла. А названия катетов меняются, потому что один катет касается выбранного угла, а другой расположен напротив него. Поэтому нельзя определить «противолежащий катет» без указания угла.

Каждая из четырёх величин составлена из отношения двух сторон. Чтобы найти, например, синус, делят длину противолежащего катета на длину гипотенузы; для тангенса делят один катет на другой. Деление показывает, сколько раз одна длина содержится в другой, поэтому результат отношения не зависит от единиц измерения. Если все подходящие стороны известны, остаётся выбрать правильные числитель и знаменатель и выполнить деление.

Размер треугольника не определяет значение отношения: важна форма, то есть величина углов. Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны, поскольку у них есть равный прямой угол и ещё один равный угол. У подобных треугольников соответствующие стороны увеличиваются или уменьшаются в одинаковое число раз. Поэтому при делении соответствующих сторон общий множитель сокращается, и синус, косинус, тангенс или котангенс остаётся тем же.

Если нужная сторона неизвестна, её часто можно восстановить по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c². Например, зная гипотенузу и один катет, находят квадрат второго катета вычитанием, а затем извлекают корень. После этого все стороны, нужные для отношения, становятся известны.

У прямоугольного треугольника два острых угла, и вместе они составляют 90°. Если рассматривать другой острый угол, прежний прилежащий катет станет противолежащим, а прежний противолежащий — прилежащим. Гипотенуза при этом останется прежней. Поэтому синус одного острого угла равен косинусу другого, а тангенс — котангенсу другого: в каждом случае используются те же стороны, только катеты меняются ролями.

Тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала отметьте угол, для которого выполняются вычисления, и назовите катеты относительно него. Затем найдите в нужной строке отношение и подставьте длины сторон. Для тангенса и котангенса следите за порядком катетов: числитель и знаменатель у них разные.

Разбор задач

Задача 1. Катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Найдите sin A, cos A, tg A и ctg A, если противолежащий углу A катет равен 3. Сначала отметим, что второй катет, длиной 4, прилежит к углу A. Гипотенуза — сторона 5, лежащая напротив прямого угла.

1. Для синуса делим противолежащий катет на гипотенузу: sin A = 3/5. Это отношение использует катет 3, потому что он расположен напротив A.
2. Для косинуса берём прилежащий катет и гипотенузу: cos A = 4/5. Здесь вместо катета 3 нужен катет 4, образующий угол A.
3. Для тангенса делим противолежащий катет на прилежащий: tg A = 3/4. Для котангенса меняем порядок этих катетов: ctg A = 4/3.

Ответ: sin A = 3/5, cos A = 4/5, tg A = 3/4, ctg A = 4/3.

Задача 2. Гипотенуза равна 13, а противолежащий углу A катет — 5. Найдите cos A, tg A и ctg A. Для этих отношений понадобится второй катет, прилежащий к A, поэтому сначала найдём его по теореме Пифагора. Его квадрат равен 13² − 5² = 169 − 25 = 144, значит, длина катета равна 12.

1. Проверяем найденную сторону: катеты 5 и 12 дают гипотенузу 13, поскольку 5² + 12² = 169 = 13². Катет 12 прилежит к A, а 5 противолежит ему.
2. Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos A = 12/13. В знаменателе должна быть гипотенуза, а не второй катет.
3. Тангенс и котангенс сравнивают катеты: tg A = 5/12, ctg A = 12/5. Эти результаты отличаются только порядком числителя и знаменателя.

Ответ: cos A = 12/13, tg A = 5/12, ctg A = 12/5.

Задача 3. Катеты равны 7 и 24. Найдите все четыре отношения для угла, противолежащего катету 7, и для второго острого угла. Сначала найдём гипотенузу: её квадрат равен 7² + 24² = 49 + 576 = 625, поэтому гипотенуза равна 25. У первого угла противолежащий катет равен 7, а прилежащий — 24.

1. Для угла напротив катета 7 получаем sin A = 7/25 и cos A = 24/25. Отношения катетов дают tg A = 7/24 и ctg A = 24/7.
2. У второго острого угла катет 24 становится противолежащим, а катет 7 — прилежащим. Гипотенуза остаётся равной 25, поэтому sin B = 24/25 и cos B = 7/25.
3. Для второго угла отношения катетов также меняются местами: tg B = 24/7, ctg B = 7/24. Проверка: синус первого угла равен косинусу второго, а тангенс первого — котангенсу второго.

Ответ: для угла напротив катета 7: sin = 7/25, cos = 24/25, tg = 7/24, ctg = 24/7; для второго угла: sin = 24/25, cos = 7/25, tg = 24/7, ctg = 7/24.

Типичные ошибки

Путать противолежащий и прилежащий катеты. Так случается, если выбирать их по длине или считать, что названия постоянны. На самом деле они определяются выбранным острым углом, а не величиной стороны. Проверьте себя: прилежащий катет касается этого угла, а противолежащий расположен напротив него.

Подставлять катет вместо гипотенузы в синус или косинус. Обычно это происходит, когда стороны определяют только по расположению относительно острого угла. Но гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Перед делением отметьте прямой угол и убедитесь, что в знаменателе стоит сторона напротив него.

Менять местами числитель и знаменатель в тангенсе или котангенсе. Эти отношения легко перепутать, потому что в обоих используются катеты. Тангенс — противолежащий к прилежащему, котангенс — наоборот. Проверьте запись по определениям: произведение tg A и ctg A должно равняться 1.

Считать, что отношение зависит от размера треугольника. Большие стороны могут создать такое впечатление, но при увеличении подобного треугольника все стороны растут в одинаковое число раз. Общий множитель сокращается при делении. Для проверки сравните отношения соответствующих сторон в двух подобных прямоугольных треугольниках.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о гипотенузе и катетах, теорема Пифагора и признаки подобия треугольников. Теорема помогает находить неизвестную сторону, а подобие объясняет, почему отношения сохраняются при изменении размера треугольника. С помощью отношений сторон решают задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника. Эти определения также становятся основой для дальнейшего изучения тригонометрических функций и вычислений с таблицами и калькулятором.

Что запомнить

• Синус — противолежащий катет, делённый на гипотенузу.
• Косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу.
• Тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий.
• Котангенс — прилежащий катет, делённый на противолежащий.
• Выбор противолежащего и прилежащего катетов зависит от рассматриваемого угла.
• Тригонометрические отношения не меняются при изменении размера треугольника с тем же острым углом.