§ 35. Скалярное произведение векторов. Ортогональные векторы

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла α между ними: a · b = |a| |b| cos α. Здесь |a| и |b| — длины векторов, знак «·» обозначает скалярное умножение, а α — угол между векторами. По этой формуле можно вычислять произведение, если известны длины и угол.

Угол между векторами — угол, который образуют равные им сонаправленные векторы, отложенные из одной точки. Иными словами, векторы можно перенести параллельно самим себе так, чтобы их начала совпали, не меняя их длины и направления. Такое определение нужно, чтобы угол зависел от самих векторов, а не от места, где их нарисовали.

Ортогональные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Для ненулевых ортогональных векторов a · b = 0, поэтому их также называют перпендикулярными. Это свойство позволяет проверять перпендикулярность вычислением, даже если чертёж неточен.

Как это устроено

Формулу скалярного произведения можно получить из теоремы косинусов. Отложим векторы a и b из одной точки и рассмотрим треугольник, третья сторона которого равна разности векторов a − b. Тогда |a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b| cos α. С другой стороны, раскрытие квадрата разности приводит к выражению |a|² + |b|² − 2(a · b), поэтому a · b = |a||b| cos α.

Перестановка множителей не меняет скалярное произведение: a · b = b · a. Причина видна прямо из формулы: длины |a| и |b| можно поменять местами, а произведение чисел от этого не изменится; угол между теми же двумя векторами тоже остаётся прежним. Поэтому порядок записи не влияет на результат.

Если умножить вектор сам на себя, угол между двумя его копиями равен 0°, а cos 0° = 1. Значит, a · a = |a| |a| = |a|². Это равенство называют скалярным квадратом вектора и используют, например, для нахождения длины: |a| = √(a · a).

Знак произведения определяется знаком косинуса угла. При остром угле косинус положителен, поэтому a · b > 0; при тупом он отрицателен, поэтому a · b < 0. Для прямого угла cos 90° = 0, и произведение равно нулю.

Чтобы проверить ортогональность, достаточно вычислить a · b и сравнить результат с нулём: для ненулевых векторов равенство нулю означает прямой угол. Если известны произведение и длины, угол находят из формулы cos α = (a · b) / (|a| |b|). Полученное значение косинуса затем сравнивают со знаками: положительный результат даёт острый угол, отрицательный — тупой, нулевой — прямой.

Скалярное произведение: формулы и их смысл

В таблице собраны основные правила и признаки. Сначала найдите подходящую формулу, затем подставьте известные величины и проверьте, что результат имеет смысл: скалярное произведение всегда является числом. Особенно полезны строки о нулевом произведении и о знаке результата.

Разбор задач

Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов длиной 4 и 6, если угол между ними равен 60°. Известны обе длины и угол, поэтому подходит непосредственно определение. Косинус 60° равен ½.

1. Запишем формулу: a · b = |a| |b| cos α.
2. Подставим данные: a · b = 4 · 6 · ½ = 12.
3. Значит, скалярное произведение равно 12.

Ответ: 12.

Задача 2. Векторы a и b имеют координаты (2; 3) и (3; −2). Для координат на плоскости скалярное произведение находят умножением соответствующих координат и сложением результатов. Если сумма равна нулю, ненулевые векторы ортогональны.

1. Вычислим: a · b = 2 · 3 + 3 · (−2).
2. Получаем 6 − 6 = 0.
3. Так как произведение равно нулю, векторы ортогональны.

Ответ: да, векторы ортогональны.

Задача 3. Длины векторов a и b равны 5 и 4, а их скалярное произведение равно 10. Нужно найти косинус угла и определить его вид. Выразим косинус из основной формулы: cos α = (a · b) / (|a| |b|).

1. Подставим значения: cos α = 10 / (5 · 4) = 10 / 20 = ½.
2. Косинус положителен, значит угол острый.
3. Следовательно, α = 60°, поскольку cos 60° = ½.

Ответ: cos α = ½, угол острый и равен 60°.

Типичные ошибки

Забывают умножить произведение длин на косинус угла и записывают только |a| |b|. Такое происходит, когда определение запоминают не полностью. Проверьте себя: в формуле должны присутствовать три части — первая длина, вторая длина и cos α.

Считают, что скалярное произведение — это вектор. Ошибка появляется из-за привычки складывать или умножать векторы с получением направленного отрезка. Подставьте числа в формулу: результатом будет обычное число без направления.

Путают ортогональность с равенством скалярного произведения единице. На самом деле при прямом угле косинус равен нулю, поэтому и произведение равно нулю. Для проверки вспомните: единица получается, например, у единичного вектора при умножении на самого себя.

Неверно определяют знак произведения по рисунку, например считают его положительным из-за положения стрелок на странице. Знак зависит только от угла между направлениями: острый даёт плюс, тупой — минус. Перенесите векторы в общую точку и оцените именно угол между ними.

Связь с другими темами

Перед изучением нужны понятия вектора, его длины, угла между векторами и косинуса угла. Без них трудно понять смысл формулы и определить знак произведения. Эти знания связывают геометрию векторов с тригонометрией.

Скалярное произведение пригодится в координатной геометрии. По нему проверяют перпендикулярность прямых и находят углы между векторами, сторонами фигур или направлениями прямых. В координатах вычисления часто сводятся к умножению соответствующих координат.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a · b = |a| |b| cos α, где α — угол между векторами.
• a · b = b · a.
• a · a = |a|².
• При прямом угле между векторами скалярное произведение равно нулю.
• Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает, что они ортогональны.