§ 36. Теорема косинусов Теорема синусов

Определения и обозначения

Теорема косинусов утверждает: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Если стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C, то a² = b² + c² − 2bc cos A. Формула нужна, чтобы находить сторону или угол в треугольнике, когда теорема Пифагора неприменима.

Теорема синусов утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов. Иначе говоря, a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности. Эта формула помогает искать неизвестную сторону, угол или радиус окружности.

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр равноудалён от вершин, поэтому такая окружность связывает геометрию треугольника с радиусом R. Это определение нужно, чтобы понимать, какую именно окружность имеет в виду теорема синусов.

Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины треугольника; его обозначают буквой R. Диаметр этой окружности равен 2R, и именно он появляется в теореме синусов. Зная радиус, можно связать длины сторон с углами через синусы.

Как это устроено

Обозначим стороны треугольника буквами a, b, c, а лежащие напротив них углы — A, B, C. Для стороны a теорема косинусов записывается так: a² = b² + c² − 2bc cos A. Угол A образован сторонами b и c, поэтому в формуле стоят именно они. Если подставить другой угол, связь между элементами треугольника будет нарушена.

Теорема косинусов становится теоремой Пифагора, когда угол между сторонами b и c прямой. Косинус прямого угла равен нулю, поэтому слагаемое 2bc cos A исчезает и остаётся a² = b² + c². Значит, теорема Пифагора — частный случай более общего правила. Это позволяет применять теорему косинусов и к прямоугольным, и к остроугольным, и к тупоугольным треугольникам.

Теорема синусов сопоставляет каждую сторону с синусом угла напротив неё: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Почему отношение равно 2R? Сторона a — хорда описанной окружности, а длина хорды, соответствующей углу A, равна 2R sin A. Если разделить это равенство на sin A, получится a/sin A = 2R; то же рассуждение работает для остальных сторон.

Выбирая теорему, сначала сравни данные задачи с тем, что входит в каждую формулу. Две стороны и угол между ними позволяют сразу найти третью сторону по теореме косинусов; три известные стороны позволяют найти угол. Теорема синусов удобна, если известна хотя бы одна пара — сторона и противолежащий ей угол. Тогда пропорция связывает эту пару с искомой стороной или углом.

Чтобы найти неизвестный элемент, запиши обозначения и отметь пары «сторона — угол напротив неё». Затем подставь известные данные и выполни вычисления, не смешивая соответствия. В конце проверь результат: сторона должна быть положительной, а углы треугольника должны в сумме давать 180°. Такая проверка помогает заметить ошибку в подстановке или вычислениях.

Теоремы косинусов и синусов

Сначала найди в таблице строку с известными данными задачи, затем посмотри, какая формула подходит. Для теоремы косинусов проверь, что указан именно угол между известными сторонами. Для теоремы синусов проверь соответствие стороны и угла, лежащего напротив неё.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике две стороны равны 5 см и 7 см, угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону. Известны две стороны и угол между ними, значит, применяем теорему косинусов и обозначаем искомую сторону через a.

1. Записываем формулу для стороны, лежащей напротив угла 60°: a² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°.
2. Подставляем cos 60° = ½: a² = 25 + 49 − 70 · ½ = 39.
3. Длина стороны положительна, поэтому a = √39 см, а не −√39 см.

Ответ: √39 см.

Задача 2. Сторона длиной 8 см лежит напротив угла 30°, а другая сторона равна 12 см. Найдите синус угла, лежащего напротив стороны 12 см. Здесь известна пара «сторона и противолежащий угол», поэтому удобно составить пропорцию по теореме синусов.

1. Обозначим искомый угол через B, а известную пару — сторону a = 8 см и угол A = 30°.
2. Записываем a/sin A = b/sin B: 8/sin 30° = 12/sin B.
3. Отсюда sin B = 12 · sin 30° / 8 = 12 · ½ / 8 = ¾.

Ответ: синус искомого угла равен ¾.

Задача 3. Стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Найдите косинус наибольшего угла, а затем радиус описанной окружности. Наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны, то есть стороны 7 см. Сначала применим теорему косинусов, а затем используем теорему синусов.

1. Пусть C — угол напротив стороны 7 см. Тогда cos C = (5² + 6² − 7²)/(2 · 5 · 6) = (25 + 36 − 49)/60 = 1/5.
2. Так как угол C тупой или острый определяется косинусом, положительное значение показывает, что он острый. Для теоремы синусов найдём sin C: sin C = √(1 − cos² C) = √(24/25) = 2√6/5.
3. По теореме синусов 7/sin C = 2R, поэтому R = 7/(2 · 2√6/5) = 35/(4√6) = 35√6/24 см.

Ответ: cos C = 1/5; R = 35√6/24 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить в теорему косинусов не угол между известными сторонами. Так бывает, когда ученик выбирает угол только по его обозначению, не сверяясь со сторонами в формуле. Проверь: в равенстве a² = b² + c² − 2bc cos A угол A должен быть между b и c. Если это не так, формула записана неверно.

Вторая ошибка — сопоставить в теореме синусов сторону не с тем углом. Причина обычно в том, что угол принимают за прилежащий к стороне, хотя нужен противолежащий. Поставь метки напротив сторон и углов или запиши пары a — A, b — B, c — C. Если пары не совпадают с рисунком или условием, исправь пропорцию до вычислений.

Третья ошибка — записать R вместо 2R в теореме синусов. В формуле отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности, а диаметр вдвое больше радиуса. Проверь, что записано a/sin A = 2R; если требуется найти радиус, после этого раздели полученное отношение на 2.

Четвёртая ошибка — извлечь из равенства a² = k отрицательный корень. Уравнение формально даёт два числа, но длина стороны не может быть отрицательной. Записывай только положительный корень и проверь, что найденная длина согласуется с остальными сторонами треугольника.

Связь с другими темами

Перед изучением этих теорем нужно уметь находить синус и косинус угла и знать их основные значения, например sin 30° = ½ и cos 60° = ½. Также пригодится теорема Пифагора: она помогает понять частный случай теоремы косинусов при прямом угле. Новые формулы расширяют способы решения задач с треугольниками, в которых нет прямого угла.

Теоремы косинусов и синусов используют, чтобы находить неизвестные элементы треугольника по разным наборам данных. Эти приёмы пригодятся при дальнейшем изучении тригонометрии, где связи между сторонами и углами применяются шире. Умение верно выбирать формулу и сопоставлять элементы полезно и в геометрических задачах.

Что запомнить

• В теореме косинусов используется косинус угла между двумя сторонами.
• Для стороны a теорема косинусов записывается так: a² = b² + c² − 2bc cos A.
• Теорема косинусов при A = 90° превращается в теорему Пифагора.
• В теореме синусов сторону сопоставляют с синусом противолежащего угла.
• Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно 2R.
• При выборе теоремы сначала определяют, какие элементы известны и что требуется найти.