1.3. Связь между координатами векторов и координатами точек

Определения и обозначения

Координаты точки — числа, задающие её положение относительно начала координат и осей. В пространстве точку записывают так: A(x; y; z), где x, y, z показывают её положение вдоль трёх осей. Эта запись позволяет однозначно указать точку и выполнять вычисления без чертежа.

Координаты вектора — числа, задающие разложение вектора по координатным векторам. Вектор a записывают как (a₁; a₂; a₃), то есть указывают три его компоненты. По ним можно восстановить направление и перемещение вектора вдоль каждой из осей.

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого находится в начале координат, а конец — в данной точке. Если точка A имеет координаты (x; y; z), то её радиус-вектор OA записывают как (x; y; z). Это удобно: положение точки можно рассматривать как перемещение из начала координат.

Координатные векторы — единичные векторы, направленные вдоль положительных направлений координатных осей. Обычно их обозначают i, j и k; любой вектор можно разложить по этим трём направлениям. Координатные векторы служат основой для записи компонентов вектора в пространстве.

Как это устроено

Пространственную систему координат образуют три оси, пересекающиеся в начале координат. Вдоль каждой оси выбирают положительное направление и единичный вектор, задающий один шаг в этом направлении. Чтобы указать точку, определяют три её координаты: перемещения вдоль осей x, y и z. Три числа нужны потому, что в пространстве положение нельзя описать только двумя направлениями.

Радиус-вектор показывает путь от начала координат к точке, поэтому его разложение по координатным векторам даёт именно координаты конца. Если A(x; y; z), то OA = xi + yj + zk. Числа x, y и z указывают, сколько единичных шагов нужно сделать по каждому направлению с учётом знака. Следовательно, компоненты радиус-вектора и координаты точки совпадают.

Пусть нужно найти вектор AB, который ведёт из A в B. Можно сначала пройти из начала координат в A, а затем добавить перемещение AB, чтобы оказаться в B; значит, OB = OA + AB. Перенеся OA в другую часть равенства, получаем AB = OB − OA. Вычитание радиус-векторов оставляет только перемещение от A к B.

Из равенства AB = OB − OA следует правило для координат: из координат конца вычитают координаты начала. Если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Это правило одинаково работает для каждой из трёх осей, потому что каждое перемещение рассматривается по отдельному координатному направлению. При поиске координат конца его координаты, наоборот, получают сложением координат начала и вектора.

Один и тот же вектор можно переместить параллельно самому себе, не меняя длины и направления. Такое перемещение не меняет его компоненты вдоль осей, поэтому координаты вектора не зависят от того, где именно он изображён. Например, стрелки AB и CD задают один и тот же вектор, если они одинаково направлены и равны по длине. Это позволяет находить координаты вектора по удобным точкам, а не только по его исходному положению.

Связь координат точек и векторов

Сначала определите, что именно требуется найти: точку, радиус-вектор или перемещение между двумя точками. Для вектора между точками соблюдайте порядок: координаты конца минус координаты начала. Если известны начало и сам вектор, прибавляйте его компоненты к координатам начала.

Разбор задач

Задача 1. Дана точка A(2; −1; 4). Запишите координаты её радиус-вектора. Радиус-вектор соединяет начало координат с точкой A, поэтому его компоненты совпадут с координатами точки. Применим это правило по всем трём координатам.

1. Запишем координаты точки: x = 2, y = −1, z = 4.
2. Перенесём эти же числа в запись радиус-вектора OA.

Ответ: OA = (2; −1; 4). Проверка проста: конец вектора должен иметь координаты A(2; −1; 4).

Задача 2. Даны точки A(1; 3; −2) и B(4; −1; 5). Найдите координаты вектора AB. Вектор направлен от A к B, поэтому именно координаты B нужно уменьшить на координаты A. Вычислим каждую компоненту отдельно, внимательно сохраняя знаки.

1. По правилу запишем AB = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A).
2. Подставим координаты: AB = (4 − 1; −1 − 3; 5 − (−2)).
3. Вычислим: AB = (3; −4; 7). При вычитании отрицательного числа в третьей компоненте получается сложение.

Ответ: AB = (3; −4; 7). Например, первая компонента положительна, потому что от A к B координата x увеличивается с 1 до 4.

Задача 3. Дана точка A(−2; 1; 3) и вектор AB = (5; −4; 2). Найдите координаты точки B. Координаты вектора равны разности координат конца и начала, поэтому для поиска конца нужно к координатам A прибавить компоненты AB. Так мы восстановим конечное положение после заданного перемещения.

1. Обозначим B(x; y; z). Из формулы AB = (x − (−2); y − 1; z − 3) получаем три равенства.
2. Приравняем компоненты: x + 2 = 5, y − 1 = −4, z − 3 = 2.
3. Решим равенства: x = 3, y = −3, z = 5.

Ответ: B(3; −3; 5). Проверим: (3 − (−2); −3 − 1; 5 − 3) = (5; −4; 2), как и задано.

Типичные ошибки

При вычислении AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Это происходит, если забыть, что стрелка направлена от первой названной точки ко второй. Проверьте порядок по записи: AB = B − A, а BA = A − B; их координаты должны отличаться только знаками.

Некоторые записывают координаты AB такими же, как у точки B. Так можно ошибиться, если считать, что вектор показывает положение конца, хотя он описывает перемещение между двумя точками. Сравните обе точки и найдите изменение каждой координаты. Если A не является началом координат, координаты B сами по себе не равны компонентам AB.

При вычитании отрицательной координаты часто теряют знак: например, считают 5 − (−2) равным 3. Причина — невнимательность к двум знакам подряд. Записывайте действие в скобках и помните, что вычитание отрицательного числа превращается в сложение.

Ещё одна ошибка — считать, что координаты любой точки и любого вектора совпадают. Это верно только для радиус-вектора, который начинается в начале координат и заканчивается в этой точке. У произвольного вектора координаты задают смещение, а не положение его конца. Перед вычислениями выясните, откуда и куда направлен вектор.

Связь с другими темами

Для работы с координатами в пространстве нужно знать координатные оси и координатные плоскости, а также уметь раскладывать вектор по координатным векторам. Эти знания объясняют, откуда берутся три компоненты точки или вектора. Правило разности координат затем используют при нахождении расстояния между точками и координат середины отрезка. Оно также помогает решать задачи на сложение векторов и перемещения в пространстве.

Что запомнить

• Координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами этой точки.
• Если A(x₁; y₁; z₁), то OA = (x₁; y₁; z₁).
• Если A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁).
• Координаты вектора находят вычитанием координат начала из координат конца.
• Вектор AB и вектор BA имеют противоположные координаты.
• Для всех трёх координат действует одно и то же правило.