46. Прямоугольная система координат в пространстве

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. Её используют, чтобы точно задавать положение точек в трёхмерном пространстве. Перпендикулярность осей позволяет измерять смещение отдельно по каждому направлению.

Координатные оси — это оси Ox, Oy и Oz, задающие три направления измерения в пространстве. Буква O обозначает их общее начало, а буквы x, y и z называют направления, соответствующие каждой оси. Такое обозначение помогает понять, к какой оси относится каждое число в записи точки.

Координатные плоскости — это плоскости Oxy, Oxz и Oyz, проходящие через пары координатных осей. Каждая из них задаёт плоское направление, в котором одна из трёх координат равна нулю. По названию плоскости можно определить, какие оси её образуют.

Координаты точки — три числа x, y, z, определяющие положение точки относительно координатных осей и плоскостей. Их записывают именно в таком порядке: A(x; y; z). Координаты нужны, чтобы однозначно описать точку и затем построить её или сравнить её положение с другими точками.

Как это устроено

На плоскости для положения точки достаточно двух направлений, а в пространстве точка может смещаться ещё и вверх или вниз относительно этой плоскости. Поэтому нужны три независимых измерения. Их задают осями Ox, Oy и Oz, расположенными попарно перпендикулярно: тогда движение вдоль одной оси не смешивается с движением вдоль другой.

Оси пересекаются в одной точке, которую обозначают O и принимают за начало координат. От неё на каждой оси выбирают положительное направление, а противоположное считают отрицательным. Поэтому координата показывает не только величину смещения, но и его направление: число со знаком «плюс» откладывают в положительную сторону, со знаком «минус» — в противоположную.

Каждая пара осей задаёт плоскость: Ox и Oy образуют Oxy, Ox и Oz — Oxz, а Oy и Oz — Oyz. Три взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на восемь частей. Такое деление помогает различать области пространства и понимать, с какой стороны каждой плоскости находится точка.

Чтобы найти координаты точки, рассматривают её проекции на оси: проекция показывает положение точки вдоль выбранного направления. Например, координата x описывает смещение вдоль Ox, а y и z — вдоль Oy и Oz. Значение координаты может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления; оно равно нулю, если смещения по этой оси нет. Именно поэтому принадлежность точки плоскости Oxy означает z = 0.

Построение по тройке (x; y; z) выполняют последовательно: задают смещение по Ox, затем по Oy и по Oz, соблюдая знаки. В результате пересечение соответствующих направлений определяет нужное положение точки. Если изменить хотя бы одну координату, обычно получится другая точка; если координаты не менять, положение будет тем же. Поэтому каждой точке соответствует ровно одна упорядоченная тройка координат.

Оси, координатные плоскости и координаты точки

Таблица показывает, какие оси образуют каждую плоскость и какая координата обязана быть нулевой. Для оси также указываются нулевые координаты по двум направлениям, которых эта ось не содержит. Пользуйтесь названием объекта: оно подсказывает, какие координаты могут меняться, а какие должны быть равны нулю.

Разбор задач

Точка A(3; 2; 1)

Отметьте точку A(3; 2; 1) и укажите, в каких полупространствах она расположена. В записи первая координата относится к Ox, вторая — к Oy, третья — к Oz. Все три числа положительны, поэтому откладывать их нужно в положительных направлениях соответствующих осей.

1. От начала O отложите 3 единицы вдоль Ox.
2. Из полученного положения учтите смещение на 2 единицы вдоль Oy.
3. Добавьте смещение на 1 единицу вдоль Oz и обозначьте полученную точку буквой A.

Все координаты положительны, значит, точка расположена с положительной стороны каждой из трёх координатных плоскостей. Иными словами, она находится в части пространства, для которой x > 0, y > 0 и z > 0. Ответ: A строится по трём положительным смещениям и лежит в полупространствах x > 0, y > 0, z > 0.

Точка B в плоскости Oyz

Точка B лежит в плоскости Oyz, а её координаты по Oy и Oz равны −2 и 4. Нужно определить полную тройку координат, не переставляя значения. Плоскость Oyz образована осями Oy и Oz, поэтому положение точки в ней не смещено вдоль Ox.

1. Запишите координаты в установленном порядке: сначала x, затем y, затем z.
2. Так как B лежит в Oyz, положите x = 0.
3. Подставьте заданные значения y = −2 и z = 4.

Отрицательное значение y означает, что смещение по Oy направлено против выбранного положительного направления. Значение z = 4 откладывается в положительную сторону Oz. Ответ: B(0; −2; 4).

Точки C(−2; 3; 1) и D(−2; 3; −1)

Постройте точки C и D, затем сравните их положение относительно плоскости Oxy. У обеих точек одинаковые x и y, но координаты z имеют разные знаки. Поскольку Oxy образована осями Ox и Oy, расстояние от этой плоскости по направлению Oz определяется именно значением z.

1. Для обеих точек отложите −2 по Ox и 3 по Oy.
2. Для C отложите 1 по Oz в положительную сторону.
3. Для D отложите −1 по Oz в отрицательную сторону.

Значит, C и D находятся по разные стороны плоскости Oxy: у C координата z положительна, у D — отрицательна. Их координаты x и y совпадают, поэтому различие в расположении относительно Oxy связано только с направлением смещения по Oz. Ответ: C и D лежат по разные стороны плоскости Oxy.

Типичные ошибки

Координаты иногда переставляют местами, например записывают (y; x; z), хотя точки задаются в порядке x, y, z. Эту ошибку допускают, если воспринимают тройку как набор чисел без порядка. Проверка простая: подпишите над каждым значением его ось и убедитесь, что первым стоит x, вторым y, третьим z.

Некоторые считают, что у точки на оси нулевой координатой должна быть координата этой оси. Но точка на Ox может двигаться вдоль Ox, а значит, x не обязательно равен нулю; нулю равны y и z. Чтобы проверить себя, представьте, по каким направлениям точка не смещается.

При построении отрицательную координату могут отложить в положительном направлении оси. Такое происходит, когда учитывают только числовое значение и забывают знак. Перед построением отдельно определите направление для каждого числа: плюс — по выбранному направлению, минус — против него.

Плоскость Oxy путают с одной из её осей и ошибочно полагают, что в ней x или y обязательно равны нулю. Плоскость содержит обе оси Ox и Oy, поэтому её точки могут иметь ненулевые x и y; равен нулю только z. Сверяйте нулевую координату с осью, перпендикулярной плоскости.

Связь с другими темами

Для пространственной системы координат полезно знать, как задают точки на координатной плоскости двумя числами. В пространстве к двум привычным координатам добавляется третья, отвечающая за новое направление. Понимание координат помогает перейти к описанию векторов: координаты вектора показывают его смещения по осям. Они также используются в задачах на расстояния и взаимное расположение точек.

Что запомнить

• В пространственной прямоугольной системе координат три взаимно перпендикулярные оси имеют общее начало O.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y; z).
• На координатной плоскости Oxy координата z равна нулю.
• На координатной плоскости Oxz координата y равна нулю.
• На координатной плоскости Oyz координата x равна нулю.
• Точка на координатной оси имеет нулевые координаты по двум другим осям.