"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Координаты позволяют описывать положение точки и перемещение вектора с помощью трёх чисел. Для этого в пространстве задают три взаимно перпендикулярные оси с общим началом: координаты точки показывают её положение относительно координатных плоскостей, а координаты вектора — перемещения вдоль осей. Главное правило для вектора AB: из координат конца B вычитают координаты начала A. Так геометрические задачи можно решать вычислениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и единичным отрезком. Оси обычно обозначают x, y и z, а их общее начало — O. Система нужна, чтобы каждому положению в пространстве сопоставить три числа и описывать геометрические объекты с помощью вычислений.
Координаты точки — числа, задающие её положение относительно координатных плоскостей и записываемые в порядке x, y, z. Например, запись A(x; y; z) означает, что у точки A первая координата относится к оси x, вторая — к y, третья — к z. Такой порядок помогает однозначно указать точку и не перепутать направления.
Координаты вектора — числа, показывающие, на сколько единиц и в каких направлениях нужно переместиться вдоль осей, чтобы получить этот вектор. Вектор с координатами (a; b; c) задаёт перемещения a, b и c вдоль соответствующих осей. Это позволяет сравнивать и вычислять векторы, не привязывая их к конкретному месту в пространстве.
Три оси нужны потому, что в пространстве есть три независимых направления: ни одно из них нельзя получить движением только по двум другим. Оси пересекаются в одной точке и образуют прямые углы, поэтому перемещения вдоль них можно учитывать отдельно. Координатные плоскости получаются попарно из этих осей: плоскость xy, плоскость xz и плоскость yz. Вместе они делят пространство на части и служат ориентирами для определения положения точки.
Чтобы задать точку, рассматривают её расстояния со знаками до трёх координатных плоскостей. Расстояние до плоскости yz связано с координатой x, до xz — с y, а до xy — с z; знак показывает, с какой стороны от плоскости находится точка. Например, A(2; −1; 3) лежит при x > 0, y < 0 и z > 0 относительно этих плоскостей. Поэтому координаты записывают именно в принятом порядке A(x; y; z).
У вектора есть проекции на координатные оси: это его составляющие перемещения вдоль x, y и z. Их знаки зависят от направления перемещения относительно положительных направлений осей. Если вектор перенести параллельно самому себе, его длина и направление не изменятся, а проекции на оси останутся прежними. Поэтому равные векторы имеют одинаковые координаты, даже если приложены к разным точкам.
Вектор AB начинается в A и заканчивается в B, значит, он описывает изменение положения при переходе от первой точки ко второй. На оси x это изменение равно x₂ − x₁, на оси y — y₂ − y₁, на оси z — z₂ − z₁. Следовательно, если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Такой порядок вычитания сохраняет направление от A к B.
У нулевого вектора нет ни длины, ни направления перемещения, поэтому все три его координаты равны нулю. Если координаты AB равны (0; 0; 0), то точки A и B совпадают. У противоположных векторов одинаковые длины, но противоположные направления, поэтому их координаты отличаются только знаками. Например, если AB = (a; b; c), то BA = (−a; −b; −c).
| Объект | Обозначение | Как заданы координаты | Что показывают |
|---|---|---|---|
| Точка | A(x; y; z) | Три числа в порядке x, y, z | Положение относительно координатных плоскостей |
| Вектор | ⃗a = (a; b; c) | Три составляющие перемещения вдоль осей | Направление и перемещение в пространстве |
| Нулевой вектор | ⃗0 = (0; 0; 0) | Все координаты равны нулю | Отсутствие перемещения |
| Вектор AB по координатам точек A и B | AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) | Из координат B вычитают соответствующие координаты A | Перемещение от A к B |
Сначала определите, что задано: точка или вектор, — и только затем выбирайте правило. Для вектора между двумя точками проверьте, что вы вычитаете координаты начала из координат конца. Порядок x, y, z должен сохраняться во всех записях.
Условие. На координатных осях пространства отметьте точку A(2; −1; 3) и определите, по какую сторону от каждой координатной плоскости она расположена. Три числа относятся по порядку к осям x, y и z. Знак координаты задаёт сторону относительно соответствующей плоскости.
Ответ. Точка A находится со стороны x > 0 от плоскости yz, со стороны y < 0 от плоскости xz и со стороны z > 0 от плоскости xy. При построении важно не переносить знак одной координаты на другую ось. Каждая координата задаёт направление только вдоль своей оси.
Условие. Даны точки A(1; −2; 0) и B(4; 1; 5). Требуется найти координаты вектора AB. Вектор направлен от A к B, поэтому координаты конца нужно сравнивать с координатами начала. Вычисления выполняются отдельно для каждой из трёх осей.
Ответ. AB = (3; 3; 5). Проверка направления: переход от A к B увеличивает x на 3, y на 3 и z на 5, что совпадает со знаками координат вектора. Если поменять точки местами, координаты вектора изменят знаки.
Условие. Даны точки A(−1; 2; 3), B(2; 0; 1) и C(4; −1; 5). Найдите координаты точки D, если AB = CD. Равные векторы имеют одинаковые координаты, хотя могут начинаться в разных точках. Значит, сначала найдём перемещение от A к B, а затем выполним такое же перемещение из C.
Ответ. D(7; −3; 3). Проверить результат можно, вычислив CD: (7 − 4; −3 − (−1); 3 − 5) = (3; −2; −2). Получились те же координаты, что у AB, значит, условие выполнено.
При нахождении AB иногда вычитают координаты B из координат A. Так делают, если ориентируются на порядок букв в записи, но забывают о направлении вектора. Проверяйте себя так: координаты конца минус координаты начала; для AB это всегда B − A. При перестановке точек результат должен изменить знаки на противоположные.
Ещё одна ошибка — переставить местами x, y и z. Она возникает, когда числа выписывают без подписей или считают, что их порядок не важен. Записывайте каждую тройку в одном порядке: сначала x, затем y, затем z. Для проверки можно отдельно подписать оси над вычислениями.
Координаты вектора иногда принимают за координаты его конца. Такое смешение возникает потому, что вектор часто изображён от конкретной точки, но его координаты описывают изменение положения, а не одну точку. Сравните начало и конец по каждой оси и найдите разности. Если перенести вектор параллельно, его координаты не изменятся.
Если координата отрицательная, её могут отложить в положительном направлении оси. Обычно это происходит, когда ученик замечает число, но пропускает знак перед ним. Перед построением укажите направление каждого перемещения: плюс — по положительному направлению оси, минус — против него. После построения проверьте знаки всех трёх координат отдельно.
Для работы с пространственными координатами нужно уметь читать координатную прямую и координатную плоскость, а также понимать, что такое координаты точки и направленный отрезок. Эти знания помогают ориентироваться в знаках и направлениях. Вектор можно рассматривать как направленный отрезок, который описывает перемещение.
Координаты векторов упрощают действия с ними: при сложении складывают соответствующие координаты, а при умножении на число каждую координату умножают на это число. Эти правила применяют в задачах на параллельность и коллинеарность. Поэтому умение находить координаты вектора AB становится основой для дальнейших вычислений.
Координатный метод позволяет переводить геометрические условия в числовые. Позже с его помощью находят расстояния и решают задачи о прямых и плоскостях в пространстве. Вместо построения сложной фигуры можно выразить её свойства через координаты и проверить нужные соотношения вычислениями.
Почему координат точки в пространстве три, а не две?
В пространстве есть три независимых направления, соответствующих трём взаимно перпендикулярным осям. Поэтому для задания положения точки нужны три числа: x, y и z.
Как понять, в каком направлении откладывать отрицательную координату?
Отрицательное значение означает, что нужно двигаться по соответствующей оси против выбранного положительного направления. Например, координата y = −1 задаёт перемещение на одну единицу в сторону, противоположную положительному направлению оси y.
Почему координаты вектора AB находят вычитанием координат A из координат B?
Вектор AB показывает, как изменилось положение при переходе из A в B. Поэтому для каждой оси берут конечное значение и вычитают начальное: координата B минус координата A.
Могут ли два разных вектора иметь одинаковые координаты?
Да. Если у векторов одинаковые координаты, то они равны по длине и направлению, даже если приложены к разным точкам. Например, равные векторы AB и CD могут иметь разные начала и концы.
Как по координатам вектора восстановить его конец, если начало известно?
Координаты вектора прибавляют к соответствующим координатам начала. Если начало A(x₁; y₁; z₁), а вектор имеет координаты (a; b; c), то конец B имеет координаты (x₁ + a; y₁ + b; z₁ + c).
§ 1. Координаты точки и координаты вектора
