§ 1. Координаты точки и координаты вектора

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и единичным масштабом. Оси обычно обозначают x, y и z, а начало — O. Такая система нужна, чтобы точно описывать положение объектов в пространстве числами.

Координаты точки — три числа, задающие её положение относительно координатных плоскостей и осей. Запись A(x; y; z) означает, что у точки A первая координата равна x, вторая — y, третья — z. Благодаря записи положение точки можно передать без рисунка и использовать в вычислениях.

Координаты вектора — числа, которые задают его направление и длину относительно координатных осей. Вектор a записывают как a = (a₁; a₂; a₃), где координаты соответствуют осям x, y, z именно в таком порядке. Координаты позволяют сравнивать векторы и выполнять над ними действия.

Радиус-вектор точки — вектор, проведённый из начала координат в эту точку. Для точки A радиус-вектор обозначают OA. Если A имеет координаты (x; y; z), то OA = (x; y; z), поэтому радиус-вектор связывает координаты точки с координатами вектора.

Как это устроено

Три взаимно перпендикулярные оси задают три независимых направления в пространстве. На каждой оси выбирают единичный вектор — вектор длины 1, направленный вдоль положительной стороны оси. Тогда любое перемещение можно представить как сочетание перемещений по этим трём направлениям. Коэффициенты при единичных векторах и становятся координатами.

Чтобы задать точку, рассматривают её проекции на координатные оси: проекция показывает, какое расстояние и в какую сторону точка отстоит от начала вдоль каждой оси. Знак координаты зависит от направления проекции, а её числовое значение — от расстояния в единичном масштабе. Первое число относят к оси x, второе — к y, третье — к z. Если поменять их местами, получится, как правило, другая точка.

Пусть начало вектора AB имеет координаты A(x₁; y₁; z₁), а конец — B(x₂; y₂; z₂). Вектор показывает переход от начального положения к конечному, поэтому по каждой оси нужно определить изменение координаты. Получаем AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Порядок «конец минус начало» отражает направление перемещения.

Векторы равны, если у них одинаковые длина и направление, даже когда их начала расположены в разных точках. Перенос вектора параллельно самому себе не меняет эти свойства, поэтому не меняются и его координаты. У противоположного вектора направление развёрнуто на 180°, а длина остаётся прежней. Значит, каждая координата меняет знак: если a = (a₁; a₂; a₃), то −a = (−a₁; −a₂; −a₃).

Координаты позволяют выполнять действия с векторами по каждой оси отдельно: вклад в итоговое перемещение складывается из вкладов обоих векторов. Поэтому a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃), а вычитание выполняется так же, со знаками минус. При умножении на число λ каждый компонент увеличивается в λ раз: λa = (λa₁; λa₂; λa₃). Это правило работает и для отрицательного λ: знак меняется, а направление становится противоположным.

Координаты точки и вектора в пространстве

Сначала определите, что именно задано: точка или вектор, — и выберите соответствующее правило. Для вектора между двумя точками проверьте, что вычитаете координаты в порядке «конец минус начало». При сравнении векторов сопоставляйте координаты по одной и той же оси.

Разбор задач

1. Координаты точки и знаки

Задана точка A(2; −1; 3). Нужно назвать её координаты и определить, в каких координатных полупространствах она расположена. Координатное полупространство — часть пространства по одну сторону от координатной плоскости. Сопоставим каждое число с соответствующей осью и учтём его знак.

1. Первая координата относится к оси x: x = 2, поэтому точка находится со стороны положительных значений x.
2. Вторая координата относится к оси y: y = −1, значит, точка находится со стороны отрицательных значений y.
3. Третья координата относится к оси z: z = 3, поэтому точка находится со стороны положительных значений z.

Ответ: координаты A — 2, −1, 3; точка лежит в полупространствах x > 0, y < 0, z > 0. Она не принадлежит ни одной из координатных плоскостей, потому что ни одна координата не равна нулю.

2. Координаты вектора по двум точкам

Даны A(1; 2; −3) и B(4; −1; 2). Требуется найти координаты AB, то есть перемещения от A к B. Чтобы определить изменение положения, сравним конечные координаты B с начальными координатами A. Вычитание проведём отдельно для каждой оси, не меняя порядок координат.

1. По оси x изменение равно 4 − 1 = 3.
2. По оси y изменение равно −1 − 2 = −3.
3. По оси z изменение равно 2 − (−3) = 5.

Ответ: AB = (3; −3; 5). Отрицательная вторая координата означает, что перемещение направлено в сторону отрицательных значений y. Проверка знака особенно полезна, если координаты начала или конца отрицательные.

3. Действия с координатами векторов

Даны a = (2; −1; 3), b = (−1; 4; 2) и c = (5; −6; 4). Нужно найти 2a − b и проверить, равен ли результат c. Сначала умножим каждую координату a на 2, затем вычтем соответствующие координаты b. Сравнивать векторы можно только после получения всех трёх координат результата.

1. Умножаем a на 2: 2a = (4; −2; 6).
2. Вычитаем b покоординатно: 2a − b = (4 − (−1); −2 − 4; 6 − 2) = (5; −6; 4).
3. Сопоставляем результат с c = (5; −6; 4): все три координаты совпали.

Ответ: 2a − b = (5; −6; 4), поэтому 2a − b = c. При вычитании отрицательной координаты получается сложение, что объясняет первую координату результата: 4 − (−1) = 5.

Типичные ошибки

• Путать координаты точки и вектора. Координаты точки задают её положение, а вектора — направление и длину; путаница возникает из-за похожей записи из трёх чисел. Проверьте, что обозначено в условии: точка — это место, вектор — перемещение.

• Вычитать координаты конца из координат начала. Такой порядок задаёт перемещение в противоположную сторону. Для AB запишите над формулой «B минус A» и затем последовательно вычтите координаты.

• Менять местами координаты x, y, z. Ошибка часто появляется, когда числа переписывают без подписей. Сверяйте каждую позицию с осью: сначала x, затем y, затем z.

• Считать, что координаты вектора зависят от его расположения. Это неверно, потому что перенос вектора не меняет ни его направление, ни длину. Для проверки сравните соответствующие координаты: у равных векторов все три должны совпасть.

Связь с другими темами

Для работы с координатами в пространстве понадобятся знания о прямоугольной системе координат на плоскости, координатных осях и действиях с числами со знаками. Координатный способ связывает геометрическую картину точки или вектора с алгебраическими вычислениями. Он пригодится при изучении операций над векторами, скалярного произведения, а также при решении задач на прямые и плоскости в пространстве.

Что запомнить

• В пространстве положение точки задаётся тремя координатами.
• Координаты вектора AB равны координатам B минус соответствующие координаты A.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• Координаты противоположного вектора отличаются от исходных только знаками.
• Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат.
• При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.