Вопросы к главе IV

Определения и обозначения

Многогранник — тело, поверхность которого составлена из плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому элементы многогранника связаны между собой. Это определение помогает представить тело как систему отдельных плоских частей и описать его форму.

Призма — многогранник с двумя равными многоугольными основаниями, расположенными в параллельных плоскостях. Соответствующие вершины оснований соединены боковыми рёбрами, а боковая поверхность состоит из параллелограммов. У прямой призмы эти рёбра перпендикулярны основаниям. По основанию и боковым граням можно распознать призму и определить её вид.

Пирамида — многогранник с одним многоугольником-основанием и общей вершиной вне его плоскости. Каждая сторона основания вместе с вершиной образует боковую треугольную грань. Все такие треугольники сходятся в одной вершине, поэтому поверхность пирамиды легко отличить от поверхности призмы. Это устройство позволяет находить площадь боковой поверхности сложением площадей треугольников.

Правильный многогранник имеет равные правильные многоугольники в качестве граней, и в каждой его вершине сходится одинаковое число граней. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Одного условия о равенстве граней недостаточно: вершины тоже должны быть устроены одинаково. Это определение помогает отличить правильные тела от многогранников с внешне похожими гранями.

Как это устроено

Чтобы определить вид многогранника, сначала посмотрите на его грани и то, как они расположены. Два равных многоугольника в параллельных плоскостях и параллелограммы между ними указывают на призму. Одно основание, стороны которого соединены с общей вершиной треугольными гранями, указывает на пирамиду. Если ни один признак не подходит, тело может быть другим многогранником, но его всё равно можно описать через грани, рёбра и вершины.

Боковые грани призмы — параллелограммы, потому что их стороны образованы парами параллельных отрезков. Одна пара сторон принадлежит параллельным основаниям, а другая образована параллельными боковыми рёбрами. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому углы боковых граней прямые и эти параллелограммы становятся прямоугольниками. У наклонной призмы такого прямого угла нет, и называть её боковые грани прямоугольниками нельзя.

У пирамиды боковые рёбра идут от вершины к вершинам основания, а высота опускается из вершины перпендикулярно плоскости основания. Поэтому высота не обязана совпадать ни с одним боковым ребром. В правильной пирамиде основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр; апофема при этом является высотой боковой грани. Сравнивая длины и направления этих отрезков, можно определить недостающие элементы и отличить правильную пирамиду от произвольной.

Площадь полной поверхности получают сложением площадей всех граней, так как поверхность тела состоит именно из них. Для призмы складывают площади двух оснований и боковых граней: Sполн = 2Sосн + Sбок. Для пирамиды основание только одно, поэтому Sполн = Sосн + Sбок. Если площади граней находятся отдельно, их достаточно сложить; если боковая поверхность вычисляется по общей формуле, важно проверить, что она включает все боковые грани.

Правильность многогранника требует одновременно равенства правильных граней и одинакового устройства вершин. В каждой вершине должно сходиться одно и то же число одинаковых граней, причём их углы должны помещаться вокруг вершины, не заполняя полный угол 360°. Для правильного многоугольника с n сторонами внутренний угол равен 180° · (n − 2) / n; сочетания, при которых сумма углов сходящихся граней меньше 360°, дают только пять тел. Это тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Сравнение призмы и пирамиды

Сначала сравните основания и форму боковых граней: это самый быстрый способ отличить тела. Затем проверьте, что именно обозначено высотой, и только после этого выбирайте формулу площади. Таблица также помогает не забыть, что у призмы оснований два, а у пирамиды одно.

Разбор задач

Задача 1. Основания многогранника — равные параллельные пятиугольники, а боковые грани — параллелограммы. Определите вид многогранника, число оснований и число боковых граней. В условии уже указаны оба определяющих признака призмы, поэтому остаётся сосчитать грани по сторонам основания. У пятиугольника пять сторон, и каждой соответствует одна боковая грань.

1. Сопоставляем равные параллельные основания и параллелограммные боковые грани с определением призмы.
2. Число оснований равно двум: в определении призмы их всегда пара.
3. Пятиугольник имеет пять сторон, поэтому к каждой стороне прилегает одна из пяти боковых граней.

Ответ: пятиугольная призма, два основания и пять боковых граней. Проверка: число боковых граней призмы равно числу сторон её основания.

Задача 2. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см, высота равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности. Поскольку призма прямая, боковые грани — прямоугольники, а их суммарная площадь равна периметру основания, умноженному на высоту. Затем прибавим площади обоих оснований.

1. Площадь основания: Sосн = 3 · 4 = 12 см².
2. Периметр основания: P = 2 · (3 + 4) = 14 см. Тогда Sбок = P · h = 14 · 5 = 70 см².
3. Складываем боковую поверхность и два основания: Sполн = 70 + 2 · 12 = 94 см².

Ответ: 94 см². Размерность проверена: площади измеряются в квадратных сантиметрах, а не в сантиметрах.

Задача 3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, апофема — 5 см. Найдите площадь полной поверхности. Основание — квадрат, а боковых граней четыре одинаковых треугольника. Апофема служит высотой каждого такого треугольника, поэтому площадь боковой поверхности удобно вычислить по сумме площадей треугольников.

1. Площадь основания-квадрата: Sосн = 6² = 36 см².
2. Площадь одной боковой грани: ½ · 6 · 5 = 15 см². Четыре равные грани имеют суммарную площадь Sбок = 4 · 15 = 60 см².
3. Складываем площади основания и боковых граней: Sполн = 36 + 60 = 96 см².

Ответ: 96 см². Здесь апофема используется как высота треугольной грани, а не как высота всей пирамиды.

Типичные ошибки

Ошибка: считать боковые грани любой призмы прямоугольниками. Так рассуждают, потому что у прямой призмы грани действительно прямоугольные, но это свойство не относится к наклонной призме. У любой призмы боковые грани — параллелограммы. Проверьте, перпендикулярны ли боковые рёбра основаниям: если нет, прямоугольность граней не гарантирована.

Ошибка: принимать боковое ребро или апофему за высоту пирамиды. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания, а апофема правильной пирамиды проходит по боковой грани и является её высотой. Высота же должна быть перпендикулярна плоскости основания. Проверка простая: если отрезок не образует прямой угол с основанием, это не высота пирамиды.

Ошибка: при вычислении полной поверхности учитывать только боковые грани или только одно основание призмы. Причина часто в том, что формулу запоминают без понимания, какие части тела она описывает. Полная поверхность включает каждую грань: у призмы оба основания и боковую поверхность, у пирамиды основание и боковые грани. Перед вычислением полезно перечислить все части, которые нужно сложить.

Ошибка: называть многогранник правильным лишь потому, что его грани — правильные многоугольники. Такое условие не гарантирует, что во всех вершинах сходится одинаковое число граней и что их расположение одинаково. Чтобы проверить правильность, рассмотрите и грани, и вершины. Если устройство хотя бы одного типа вершины отличается от остальных, многогранник не является правильным.

Связь с другими темами

Для работы с многогранниками нужны свойства многоугольников, а также знания о параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостях. Площади оснований и граней находят по формулам для плоских фигур, поэтому важно уверенно считать площадь треугольника, прямоугольника и других многоугольников. Без этих сведений нельзя корректно определить площадь поверхности тела.

Пространственные представления помогают мысленно видеть взаимное расположение граней, рёбер и высот. Построение сечений и вычисление длин и углов развивают те же навыки: нужно связывать плоские фигуры с телом в пространстве. Позже эти умения пригодятся при изучении объёмов, решении пространственных задач и создании геометрических моделей объектов.

Что запомнить

• У призмы два равных параллельных основания.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками.
• Пирамида имеет одно основание, а её боковые грани — треугольники с общей вершиной.
• Полная поверхность многогранника состоит из всех его граней.
• Правильный многогранник имеет равные правильные грани и одинаковое устройство вершин.
• Существует пять правильных многогранников.