"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Координаты помогают описывать положение точки и перемещение вектора с помощью чисел. Для точки указывают расстояния со знаком от двух осей, а для вектора — изменения по горизонтали и вертикали. По координатам можно вычислять векторы между точками, складывать и вычитать векторы, умножать их на число и находить длину. Главное — соблюдать порядок координат и правильно определять направление перемещения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат на плоскости — это две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом и выбранными единичными отрезками. Горизонтальную ось называют Ox, вертикальную — Oy, а их общую точку — началом координат O. Такая система задаёт единый способ описывать положение любой точки на плоскости.
Координаты точки — это пара чисел, которая задаёт её положение относительно осей. Точку A обозначают A(x; y): первое число относится к оси Ox, второе — к Oy. По этим числам можно отметить точку на координатной плоскости или определить её положение без рисунка.
Координаты вектора — числа, показывающие, насколько и в каком направлении он перемещается по каждой оси. Вектор a записывают так: a = (x; y), где x отвечает за горизонтальное, а y — за вертикальное перемещение. Эта запись позволяет выполнять действия с векторами численно.
Равные векторы — это векторы одинакового направления и длины. Они могут начинаться в разных точках, но перемещают на одно и то же расстояние в одну и ту же сторону. Поэтому у равных векторов совпадают координаты: место, где вектор нарисован, на его перемещение не влияет.
Оси Ox и Oy делят плоскость на четыре четверти и задают направления отсчёта. Чтобы указать точку, сначала определяют её горизонтальное расстояние от Oy, затем вертикальное расстояние от Ox; числа получают знаки в зависимости от направления. Поэтому пара координат однозначно задаёт точку: для каждого значения x есть своя вертикальная линия, а для каждого y — горизонтальная, и пересекаются они только в одном месте.
Вектор можно представить как перемещение из его начала в конец. Если перенести начало вектора в начало координат, его конец окажется в точке, координаты которой показывают, на сколько единиц вектор направлен вправо или влево и вверх или вниз. Это объясняет, почему координаты вектора связаны с двумя составляющими перемещения, а не с местом, где он был нарисован.
Для вектора AB начальная точка — A, конечная — B. По горизонтали нужно определить изменение от x_A до x_B, то есть вычесть начальное значение из конечного; по вертикали поступают так же. Поэтому AB = (x_B − x_A; y_B − y_A): если координата увеличилась, соответствующая составляющая положительна, а если уменьшилась — отрицательна.
При сложении векторов перемещения по каждой оси складываются независимо: сначала первые координаты, затем вторые. При вычитании находят разности одноимённых координат, а при умножении на число каждую координату умножают на это число. Например, если a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂), то a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂), ka = (kx₁; ky₁).
Координаты вектора образуют катеты прямоугольного треугольника: горизонтальное и вертикальное перемещения перпендикулярны. По теореме Пифагора квадрат длины равен сумме квадратов этих перемещений, поэтому |a| = √(x² + y²). Знаки координат показывают направление, но после возведения в квадрат становятся положительными; именно поэтому длина не зависит от того, направлен вектор вправо или влево, вверх или вниз.
В таблице собраны основные записи и способы вычислений. Сначала определите, что задано: точка, отдельный вектор или две точки, задающие вектор. Затем примените соответствующее правило, сохраняя порядок координат: сначала по Ox, потом по Oy.
Для длины сначала найдите координаты самого вектора, если они не даны, а затем подставьте их в формулу. Проверяйте, что действия выполняются с одноимёнными координатами.
| Что рассматриваем | Запись | Как определить или вычислить | Что показывают координаты |
|---|---|---|---|
| Точка A | A(x; y) | Считать положение по Ox и Oy | Положение точки на плоскости |
| Вектор a | a = (x; y) | Определить перемещения по каждой оси | Направленные изменения по горизонтали и вертикали |
| Вектор AB по координатам точек A и B | AB = (x_B − x_A; y_B − y_A) | Из координат B вычесть соответствующие координаты A | Перемещение из A в B |
| Сумма и разность векторов | a ± b = (x₁ ± x₂; y₁ ± y₂) | Выполнить действие отдельно с первыми и вторыми координатами | Результирующее перемещение |
| Умножение вектора на число | ka = (kx; ky) | Умножить каждую координату на k | Изменённое в k раз перемещение |
| Длина вектора | |a| = √(x² + y²) | Возвести координаты в квадрат, сложить и извлечь корень | Расстояние между началом и концом вектора |
Задача 1. Точка A имеет координаты (−3; 2). Указать, в какой четверти она расположена, и изобразить её на координатной плоскости.
Ответ: A(−3; 2) находится во второй четверти. Чтобы изобразить её, от O проходят три единицы влево и две вверх.
Задача 2. Даны A(1; −2) и B(5; 3). Найти координаты вектора AB.
Ответ: AB = (4; 5). Это означает, что из A нужно пройти четыре единицы вправо и пять вверх, чтобы попасть в B.
Задача 3. Даны a = (−2; 3) и b = (4; 1). Найти 2a − b и длину полученного вектора.
Ответ: 2a − b = (−8; 5), длина полученного вектора равна √89.
При нахождении координат AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Так происходит, если забыть, что вектор направлен из A в B; тогда получается вектор BA, противоположный исходному. Проверка проста: в записи AB всегда вычисляйте «конец минус начало» и сравните результат с ожидаемым направлением.
Координаты точки или вектора могут менять местами, поскольку оба обозначения состоят из пары чисел. Но первое число относится к Ox, второе — к Oy, и перестановка обычно переносит точку в другое место или задаёт другое перемещение. Проверьте себя, проследив отдельно горизонтальный и вертикальный шаги.
Можно ошибочно считать, что координаты вектора зависят от места его изображения. Это смешивает положение точки с перемещением вектора: один и тот же сдвиг можно нарисовать из разных начал. Чтобы проверить координаты, сравните направление и длину векторов, а не координаты их начальных точек.
Ещё одна ошибка — находить длину как сумму модулей координат, например |x| + |y|. Так складывают длины двух отдельных отрезков под прямым углом, а не длину прямого пути; она является гипотенузой. Используйте √(x² + y²) и проверьте результат: длина не должна быть меньше любой из составляющих.
Для работы с координатами нужны знания о прямоугольной системе координат и четвертях: по знакам x и y определяют положение точки. Теорема Пифагора помогает вычислять длину вектора, а понятие вектора объясняет, что означают его координаты как перемещения. Эти навыки соединяют геометрические построения с вычислениями.
Координатный способ пригодится при сложении векторов и проверке их коллинеарности, то есть параллельности направлений. Координаты также используют в задачах о середине отрезка и при решении геометрических задач методом координат. Вместо сравнения рисунка можно составить выражения и проверить нужное свойство числами.
Чем координаты точки отличаются от координат вектора?
Координаты точки показывают её положение относительно осей: сначала горизонтальное, затем вертикальное. Координаты вектора описывают перемещение: насколько и в каком направлении нужно сдвинуться по каждой оси.
Почему для вектора AB нужно вычитать координаты точки A из координат точки B?
Вектор AB направлен из A в B, поэтому его координаты показывают, как изменилось положение при таком переходе. Из конечного положения вычитают начальное: (x_B − x_A; y_B − y_A).
Могут ли равные векторы быть расположены в разных местах плоскости?
Да. Равные векторы могут иметь разные начала, если у них совпадают длина и направление. Поэтому их координаты тоже совпадают.
Как найти координаты суммы двух векторов?
Сложите первые координаты векторов и отдельно сложите вторые. Если a = (x₁; y₁), а b = (x₂; y₂), то a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂).
Почему длина вектора находится по теореме Пифагора?
Координаты вектора задают его горизонтальное и вертикальное перемещения, которые перпендикулярны друг другу. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, а длина вектора является гипотенузой.
§19. Координаты точки и координаты вектора
