84. Ось координат

Определения и обозначения

Координатная ось — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Поэтому одной прямой недостаточно: без этих выборов числа для точек нельзя определить однозначно. Ось позволяет описывать положение точек с помощью чисел.

Начало отсчёта — точка O, которой приписывают координату 0. От неё отсчитывают расстояния до остальных точек оси. Ноль служит общей точкой отсчёта, относительно которой определяются знаки координат.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения на оси. Он задаёт масштаб: с его помощью можно понять, сколько единиц отделяет точку от начала отсчёта. Если нужно точнее показать положение, единичный отрезок делят на равные части.

Координата точки — число, которое задаёт положение точки на оси относительно начала отсчёта и выбранного направления. Она показывает и расстояние в единичных отрезках, и сторону от нуля. Благодаря координате точку можно обозначить числом, а затем восстановить её положение на оси.

Как это устроено

Прямая сама по себе не сообщает, где на ней находится ноль, в какую сторону считать и какова длина единицы. Например, одну и ту же точку можно было бы назвать разными числами, если менять начало или масштаб. Поэтому сначала выбирают начало отсчёта, направление и единичный отрезок. Только после этого каждой точке можно сопоставить определённую координату.

Положительное направление обычно показывают стрелкой, а точки в этой стороне от нуля получают положительные координаты. В противоположную сторону координаты отрицательные. Если единичный отрезок откладывать от нуля последовательно, деления справа будут обозначаться 1, 2, 3 и далее, а слева — −1, −2, −3. Знак нужен, чтобы числом передать не только расстояние, но и сторону расположения.

Чтобы определить координату точки, сначала сравнивают её положение с началом отсчёта и выбирают знак. Затем считают, сколько единичных отрезков или их частей отделяет точку от нуля. Для отметки точки по заданному числу действуют наоборот: от O откладывают указанную величину в сторону, соответствующую знаку. Так, число −2 означает два единичных отрезка против положительного направления.

Точки по разные стороны от начала отсчёта получают разные знаки, потому что координата учитывает направление от нуля. Само расстояние до нуля при этом не меняется: например, точки с координатами 3 и −3 одинаково удалены от O, но лежат по разные стороны. Точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта. Значит, знак координаты помогает различать положение, а не размер отрезка.

Чтобы найти расстояние между точками с координатами a и b, вычитают одну координату из другой и берут модуль: |a − b|. Разность показывает, насколько изменяется координата при переходе от одной точки к другой. Порядок вычитания может дать положительное или отрицательное число, но модуль оставляет только величину расстояния. Поэтому результат всегда неотрицателен.

Элементы координатной оси и их роль

Пользуйся таблицей, когда нужно проверить, всё ли задано для построения координатной оси. Начало и направление помогают определить знак, а единичный отрезок — величину координаты. Координата объединяет эти сведения в одном числе.

Разбор задач

Задача 1. На координатной оси отмечены точки A и B. Укажите, какая из них имеет положительную координату, а какая — отрицательную. Смотрим не на то, какая точка расположена выше или ниже на рисунке, а на её положение относительно начала отсчёта. Для ответа нужно учитывать стрелку положительного направления.

1. Найдём начало отсчёта O и направление, принятое за положительное.
2. Определим, в какую сторону от O находится каждая точка: в сторону стрелки или в противоположную.
3. Точка в положительном направлении имеет положительную координату, а точка на другой стороне — отрицательную.

Ответ: точка справа от O при стандартном направлении вправо имеет положительную координату, точка слева — отрицательную. Если направление на оси выбрано иначе, знаки определяют по стрелке, а не по словам «справа» и «слева». Это правило позволяет избежать ошибки при нестандартном чертеже.

Задача 2. Единичный отрезок разделён на 4 равные части. Точка M расположена на 3 таких части правее начала отсчёта. Найдите её координату. Сначала узнаем, какую долю единицы составляет одна часть, а затем найдём длину отрезка от нуля до M в единицах. Направление вправо даёт положительный знак.

1. Одна из четырёх равных частей единичного отрезка равна ¼.
2. Три такие части составляют 3 · ¼ = ¾ единицы.
3. Точка находится правее начала отсчёта, значит, координата положительна.

Ответ: координата точки M равна ¾. Дробное значение появляется потому, что точка расположена между целыми делениями оси. Если бы те же три части находились слева от нуля, координата была бы −¾.

Задача 3. Точки A и B имеют координаты −3,5 и 2 соответственно. Найдите расстояние AB. Точки лежат по разные стороны от нуля, поэтому расстояние между ними складывается из частей от каждой точки до начала отсчёта. Тот же результат даёт модуль разности координат.

1. Запишем формулу расстояния между точками с координатами a и b: |a − b|.
2. Подставим координаты: |2 − (−3,5)| = |2 + 3,5|.
3. Вычислим модуль: |5,5| = 5,5.

Ответ: AB = 5,5. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение, потому что мы сравниваем положения точек по разные стороны от нуля. Модуль подтверждает, что расстояние не может быть отрицательным.

Типичные ошибки

• Любую прямую называют координатной осью. Это ошибка, потому что без начала отсчёта, положительного направления и единичного отрезка координаты не определены. Так думают, если воспринимают ось как обычную линию для отметок. Проверь себя: на чертеже должны быть показаны все три необходимых элемента.
• Координаты слева от начала отсчёта считают положительными. Знак определяется не положением на листе, а заранее выбранным направлением. Ошибка возникает, когда забывают проверить стрелку оси. Сначала найди её, затем решай, в какую сторону координаты положительны.
• Координату принимают за расстояние до нуля. Координата может быть отрицательной, а расстояние всегда неотрицательно. Путаница появляется из-за того, что оба значения связаны с удалённостью от начала отсчёта. Для проверки сравни число с модулем: расстояние до O равно модулю координаты.
• При поиске расстояния не берут модуль разности. Тогда результат может оказаться отрицательным, хотя длина отрезка такой быть не может. Ошибка часто связана с выбором порядка вычитания. Проверь вычисление: расстояние должно быть равно |a − b| и не зависеть от того, какую точку назвали первой.

Связь с другими темами

Для работы с координатной осью нужны знания о положительных и отрицательных числах, модуле числа и делении отрезка на равные части. Они помогают правильно выбирать знак, находить расстояния и отмечать дробные координаты. Освоенная ось становится основой для координат на плоскости и изучения векторов. Она также позволяет применять аналитические способы решения геометрических задач, где положение точек описывают числами и вычислениями.

Что запомнить

• Координатная ось — это прямая с началом отсчёта, направлением и единичным отрезком.
• Началу отсчёта соответствует координата 0.
• Точки в положительном направлении имеют положительные координаты, в противоположном — отрицательные.
• Координата показывает положение точки на оси с учётом направления.
• Расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|.