85. Прямоугольная система координат

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат — это две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом и выбранной единицей измерения. Горизонтальную ось обычно обозначают Ox, вертикальную — Oy. Такая система позволяет задавать положение точки на плоскости двумя числами. Плоскость с нанесёнными осями называют координатной плоскостью.

Начало координат — точка пересечения осей, её координаты равны (0; 0). Эту точку обозначают буквой O. От неё отсчитывают расстояния и направления по обеим осям. Начало удобно использовать как общую точку отсчёта для всех координат.

Абсцисса точки — её первая координата в записи (x; y), показывающая положение относительно горизонтальной оси Ox. Она указывает, насколько точка смещена вправо или влево от начала координат. Положительная абсцисса соответствует движению вправо, отрицательная — влево. По абсциссе можно определить положение точки в горизонтальном направлении.

Ордината точки — её вторая координата, показывающая положение относительно вертикальной оси Oy. Она показывает, насколько точка находится выше или ниже начала координат. Положительная ордината соответствует движению вверх, отрицательная — вниз. Вместе с абсциссой она задаёт положение точки на плоскости.

Как это устроено

Оси проводят перпендикулярно, чтобы направления измерения не смешивались: одно отвечает за движение вправо и влево, другое — вверх и вниз. Общее начало даёт удобную точку отсчёта для обоих направлений. На каждой оси выбирают единичный отрезок, то есть отрезок, которому соответствует одно деление координаты. Без единицы измерения числовое значение не показывало бы расстояние однозначно, а без прямого угла положение по одному направлению влияло бы на измерение по другому.

Чтобы найти координаты уже отмеченной точки, через неё мысленно или на чертеже проводят прямые, параллельные осям. Горизонтальная проекция приводит к оси Oy и помогает определить высоту точки, то есть ординату. Вертикальная проекция приводит к оси Ox и показывает абсциссу. Поскольку каждая параллельная прямая пересекает нужную ось в одном месте, по шкале можно считать соответствующее число.

Пару (x; y) строят в заданном порядке, чтобы каждый шаг отвечал своей оси. Сначала от начала координат откладывают абсциссу по горизонтали: вправо при x > 0 и влево при x < 0. Затем от полученного положения откладывают ординату по вертикали: вверх при y > 0 и вниз при y < 0. Конечное положение и будет нужной точкой; тот же результат получится, если провести через отложенные значения параллели к осям и отметить их пересечение.

Знаки координат показывают, в каких направлениях от начала расположена точка, поэтому по ним определяют четверть. В I четверти x и y положительны, во II x отрицателен, а y положителен, в III оба числа отрицательны, в IV x положителен, а y отрицателен. Оси служат границами четвертей, но точка на оси не относится ни к одной из них. На Ox вертикального смещения нет, поэтому y = 0; на Oy нет горизонтального смещения, поэтому x = 0.

Порядок координат важен, потому что каждое место в паре связано с отдельным направлением. В записи (x; y) первое число задаёт горизонтальное положение, а второе — вертикальное. Если поменять числа местами, обычно изменятся оба отрезка, которые нужно отложить, и получится другая точка. Например, (2; 5) находится на 2 единицы правее и на 5 выше начала, а (5; 2) — на 5 правее и на 2 выше.

Координаты точки и их значение

Пользуйтесь таблицей, чтобы не перепутать оси и порядок координат: сначала всегда определяют x, затем y. При чтении точки проследите, к какой оси параллельна проведённая через неё прямая. Если точка лежит на одной из осей, соответствующая ей координата равна нулю.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте на координатной плоскости точки A(3; 2) и B(−2; 1). В каждой записи сначала дано горизонтальное смещение, затем вертикальное. Перед построением полезно проверить знаки: у A обе координаты положительные, а у B отрицательна только абсцисса. Поэтому точки окажутся по разные стороны от оси Oy.

1. Для точки A от начала координат отсчитайте по Ox 3 единицы вправо.
2. От найденного положения отсчитайте по вертикали 2 единицы вверх и отметьте точку A.
3. Для точки B отсчитайте по Ox 2 единицы влево, поскольку x = −2.
4. Оттуда поднимитесь на 1 единицу вверх и отметьте точку B.

Ответ: A находится в I четверти, B — во II четверти; их координаты соответственно (3; 2) и (−2; 1). Проверка: у A оба направления положительные, а у B горизонтальное направление отрицательное и вертикальное положительное. Это согласуется с расположением точек по четвертям.

Задача 2. Определите координаты точки, расположенной на 4 единицы левее начала координат и на 3 единицы ниже него. Сначала переведём слова о направлении в знаки координат. Движение влево задаёт отрицательную абсциссу, а движение вниз — отрицательную ординату. Запишем числа в установленном порядке: сначала x, затем y.

1. Точка на 4 единицы левее O, поэтому x = −4.
2. Точка на 3 единицы ниже O, поэтому y = −3.
3. Объединим значения в пару (x; y), не меняя их местами.

Ответ: (−4; −3). Оба числа отрицательные, поэтому точка расположена в III четверти. Такая проверка подтверждает, что она находится и левее, и ниже начала координат.

Задача 3. Точка M(−3; 4) отражена сначала относительно оси Ox, а затем относительно оси Oy. При отражении относительно горизонтальной оси точка остаётся на прежнем расстоянии от неё, но оказывается по другую сторону. Поэтому абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Затем отражение относительно вертикальной оси изменит знак абсциссы полученной точки.

1. Исходные координаты: x = −3, y = 4.
2. После отражения относительно Ox ордината меняет знак: получаем (−3; −4).
3. После отражения относительно Oy меняем знак абсциссы: получаем (3; −4).

Ответ: (3; −4). В результате обоих отражений знаки обеих координат изменились относительно исходной точки, а их числовые значения по модулю остались прежними. Итоговая точка находится в IV четверти.

Типичные ошибки

Меняют местами абсциссу и ординату. Так происходит, когда ученик не связывает первое число с горизонталью, а второе — с вертикалью. Запись (x; y) всегда означает сначала абсциссу, затем ординату. Проверьте построение: первое число должно определять смещение по Ox, а второе — по Oy.

Откладывают отрицательную координату в положительном направлении. Знак минус иногда воспринимают как часть числа, забывая, что он указывает направление от начала. Для абсциссы отрицательное значение откладывают влево, для ординаты — вниз. Перед построением вслух назовите направление каждой координаты и сравните его со знаком.

Считают, что точка на оси имеет две ненулевые координаты. Это заблуждение возникает, если при проекции точки не замечают, что она уже лежит на одной из осей. На Ox нет вертикального смещения, значит, y = 0; на Oy нет горизонтального смещения, значит, x = 0. Проверить себя можно, посмотрев, какая координата отвечает за направление, перпендикулярное оси.

Не учитывают единичный отрезок или масштаб осей. Если деления на чертеже имеют разную цену, отсчёт «по клеткам» может дать неверный результат. Координата показывает число единиц, а не обязательно число клеток. Перед построением выясните, какой отрезок принят за единицу на каждой оси, и сверяйте с ним расстояние.

Связь с другими темами

Перед работой с координатной плоскостью нужно уметь пользоваться числовой прямой и различать положительные и отрицательные числа. Именно эти навыки помогают правильно отложить координату в нужном направлении и считать её значение. Если отрицательные числа пока вызывают затруднение, полезно сначала представить движение от нуля по числовой прямой.

Координатная плоскость применяется при построении графиков функций: каждой подходящей паре значений x и y соответствует точка. Она также помогает решать задачи о положении и перемещении точек, а координаты позволяют описывать фигуры и сравнивать их расположение. Поэтому точное чтение пары чисел становится основой для дальнейшей работы с графиками и геометрическими объектами.

Что запомнить

• Ось Ox горизонтальная, ось Oy вертикальная.
• Оси пересекаются под прямым углом в начале координат.
• Координаты точки записывают парой (x; y).
• Абсцисса — первая координата, ордината — вторая.
• На оси Ox ордината равна нулю, на оси Oy абсцисса равна нулю.
• Знаки координат помогают определить четверть, в которой находится точка.