86. Вектор

Определения и обозначения

Направленный отрезок — это отрезок, в котором один конец выбран началом, а другой — концом. Порядок здесь важен: если поменять концы местами, направление изменится на противоположное. Поэтому AB и BA — разные направленные отрезки, хотя их длины одинаковы. Такое обозначение помогает описывать движение от одной точки к другой.

Вектор — направленный отрезок, который обозначают двумя буквами со стрелкой над ними, например AB, или одной строчной буквой, например a. В записи AB точка A обозначает начало, а B — конец вектора. Две формы обозначения позволяют указывать вектор через конкретные точки или называть его короткой буквой. При чтении записи порядок букв менять нельзя.

Длина вектора — расстояние между его началом и концом. Для вектора AB её обозначают |AB|, а для вектора a — |a|; вертикальные черты называют модулем. Длина показывает, насколько далеко находятся начало и конец, но сама по себе не сообщает, куда направлен вектор. Поэтому при описании вектора рассматривают и длину, и направление.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Его длина равна нулю, поскольку расстояние от точки до неё самой равно нулю. Такой вектор обозначают 0 или, например, AA. Он нужен, чтобы отдельно учитывать случай, когда перемещения из начальной точки в конечную фактически нет.

Как это устроено

Одна длина не задаёт вектор полностью, потому что отрезки одинаковой длины можно провести в разных направлениях. Например, от одного места можно переместиться на пять клеток вправо или на пять клеток вверх: длина перемещения одинакова, а результат движения различается. Чтобы определить вектор, нужно знать и его длину, и направление. Поэтому сравнение только по длине не позволяет установить равенство векторов.

Направление направленного отрезка читают от его начала к концу. В записи AB начинают в точке A и движутся к точке B; стрелка над буквами напоминает об этом порядке. Если пройти от B к A, получится уже другой вектор — BA, направленный обратно. Такой способ чтения помогает не спутать, откуда начинается движение и куда оно заканчивается.

Векторы, расположенные в разных местах плоскости, могут быть равными, потому что положение не меняет ни их длину, ни направление. Представь одинаковые стрелки на листе: если их длины совпадают и они указывают в одну сторону, место, где нарисована каждая стрелка, несущественно. Поэтому вектор можно параллельно перенести, сохранив его длину и направление. Это свойство удобно при построениях и сравнении векторов.

Отрезок показывает расстояние между двумя точками, а вектор дополнительно задаёт направление от одной точки к другой. У луча тоже есть начало и направление, но луч продолжается бесконечно, тогда как вектор имеет конечную длину. В записи вектора важен порядок обозначения концов: AB и BA направлены по-разному. Значит, вектор нельзя считать просто отрезком или лучом с другим названием.

Нулевой вектор выделяют потому, что его начало и конец совпадают: он не задаёт перехода из одной точки в другую. Из совпадения концов следует, что длина этого вектора равна нулю. При этом нельзя указать, в какую сторону он направлен: точка не смещается ни вправо, ни влево, ни по иной линии. Это отличает нулевой вектор от векторов положительной длины.

Основные виды и характеристики векторов

В таблице сначала найди, какой объект рассматривается, а затем сравни его длину и направление. Для проверки равенства нужны обе характеристики: одной общей длины недостаточно. Обозначение также подсказывает, откуда начинается вектор и где он заканчивается.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены несколько направленных отрезков. Определить, какие из них задают один и тот же вектор. Здесь нельзя ориентироваться только на то, где именно нарисована каждая стрелка: сравнивать нужно характеристики самого вектора. Сначала мысленно перенеси стрелки в одно место, не меняя их длину и направление.

1. Для каждой стрелки отметь её направление — от начала к концу.
2. Сравни длины направленных отрезков, например по клеткам или измерением.
3. Объедини стрелки, у которых совпали и длина, и направление; стрелки противоположного направления раздели.

Ответ: один и тот же вектор задают все направленные отрезки одинаковой длины, направленные в одну сторону. По условию без самого изображения нельзя назвать конкретные стрелки, поэтому проверка выполняется по двум указанным признакам.

Задача 2. Даны точки A, B, C и D. Установить, равны ли векторы AB и CD, если отрезки параллельны, равны и направлены в одну сторону. Параллельность показывает, что векторы лежат на параллельных прямых, а не обязательно на одной прямой. Чтобы сделать вывод, используем определение равенства, в котором одновременно проверяют длину и направление.

1. Из условия известно, что отрезки AB и CD равны, значит, длины векторов AB и CD совпадают.
2. Отрезки параллельны и направлены в одну сторону, значит, направления соответствующих векторов одинаковы.
3. Сопоставь оба результата с определением: равные длины и одинаковое направление.

Ответ: векторы AB и CD равны. Их начала могут находиться в разных точках — это не влияет на равенство.

Задача 3. По координатной сетке построить вектор заданной длины и направления, а также указать его начало, конец и модуль. Возьмём пример: требуется отложить от точки A вектор длиной 5 клеток вправо. Построение удобно проверить переносом: равный ему вектор можно мысленно передвинуть, сохранив длину и сторону движения.

1. Выбери точку A началом и отсчитай от неё 5 клеток вправо по линии сетки.
2. Отметь полученную точку B. Стрелку направь от A к B, поэтому построенный вектор обозначается AB.
3. Проверь, что отрезок AB содержит 5 клеток и стрелка указывает вправо; запиши его длину как |AB| = 5 клеток.

Ответ: начало — A, конец — B, модуль — 5 клеток, направление — вправо. Если по условию заданы другие длина и направление, так же отсчитай нужное число клеток в указанную сторону и проверь оба признака.

Типичные ошибки

Ошибка: считать равными любые векторы одинаковой длины. Так происходит, если смотреть только на расстояние между концами и не учитывать, куда показывает стрелка. Проверь себя: сравни не только длины, но и направления; если стрелки указывают в разные стороны, векторы не равны.

Ошибка: путать вектор AB с вектором BA. Буквы кажутся просто названиями концов, но первая буква задаёт начало, а вторая — конец, поэтому порядок определяет направление. Для проверки прочитай обозначение вслух как движение: «из A в B» или «из B в A».

Ошибка: считать, что равные векторы обязаны иметь общее начало или лежать на одной прямой. Часто это представление возникает из-за привычки сравнивать нарисованные отрезки на одном рисунке. Проверь длину и направление отдельно: если обе характеристики совпадают, разные места расположения не мешают равенству.

Ошибка: приписывать нулевому вектору длину или направление обычного вектора. Его могут принять за маленькую стрелку, хотя при совпадающих концах перемещения нет. Убедись, что начало совпадает с концом: тогда длина равна 0, а определённое направление указать нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с векторами понадобятся понятия отрезка и расстояния между точками: по ним находят длину вектора. Параллельные прямые и направление движения помогают понять, когда векторы ориентированы одинаково или противоположно. Дальше векторы складывают и вычитают, умножают на число и задают координатами, поэтому точное понимание их направления и длины станет основой для новых действий. В физике векторами описывают силу, скорость и перемещение.

Что запомнить

• Вектор — это направленный отрезок.
• У вектора есть длина и направление.
• Вектор обозначают двумя буквами со стрелкой или одной строчной буквой.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и одинаковое направление.
• Вектор можно переносить параллельно самому себе, не изменяя его.
• Нулевой вектор имеет длину 0.
• Векторы AB и BA имеют противоположные направления.