"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Вектор — направленный отрезок, который задаёт не только длину, но и направление перемещения. Его обозначают двумя буквами с учётом порядка: вектор AB направлен от A к B. Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, даже если расположены в разных местах чертежа. У нулевого вектора начало и конец совпадают, длина равна нулю, а направление не определено. Эти понятия понадобятся для действий с векторами и решения геометрических задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор — направленный отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху: AB означает вектор с началом в A и концом в B. В отличие от обычного отрезка, он показывает не только расстояние, но и направление перемещения.
Длина вектора — длина направленного отрезка. Её записывают как |AB| для вектора AB или |a| для вектора a. Такое обозначение помогает отличить сам вектор от числа, которое выражает только его длину.
Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинакового направления. Они могут находиться в разных местах плоскости, потому что расположение не входит в условия равенства. Это определение позволяет сравнивать перемещения независимо от того, где они изображены.
Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено: из точки нельзя указать сторону перемещения, если перемещения нет. Нулевой вектор обозначают, например, AA со стрелкой сверху.
Один лишь отрезок сообщает, каково расстояние между двумя точками, но не говорит, в какую сторону нужно двигаться. Например, отрезок длиной 5 см не различает путь слева направо и путь справа налево. Вектор дополняет длину направлением, поэтому позволяет описывать перемещение точнее. Именно поэтому его используют там, где важны и величина, и выбранная сторона.
Направление задаётся порядком точек: первая буква показывает начало, вторая — конец. Если вести взгляд по вектору AB, движение начинается в A и заканчивается в B. При перестановке букв получается BA, и стрелка смотрит в противоположную сторону. Поэтому при чтении обозначения нельзя менять буквы местами, даже если длина отрезков AB и BA одинакова.
Равные векторы могут быть нарисованы отдельно друг от друга, потому что для равенства важны не координаты их концов, а направление и длина. Это похоже на одинаковые перемещения, начатые из разных точек: путь можно перенести, не меняя его величины и стороны. Чтобы проверить равенство, сначала сравнивают длины, затем устанавливают, одинаково ли направлены стрелки. Если не выполнено хотя бы одно условие, векторы не равны.
У обычного ненулевого вектора начало и конец различны, поэтому от первого ко второму можно указать направление. У нулевого вектора обе точки совпадают, и стрелка не показывает движения ни в одну сторону. Поэтому ему нельзя приписать определённое направление, хотя он остаётся вектором и имеет длину. Это особый случай, который важно отличать от короткого, но ненулевого вектора.
Вектор и его длина отвечают на разные вопросы. Вектор описывает перемещение: откуда и куда оно направлено, а длина сообщает, насколько оно велико. Например, векторы AB и BA имеют одинаковые длины, но противоположные направления, поэтому это разные векторы. Длина всегда является неотрицательным числом; у нулевого вектора она равна нулю.
| Понятие | Что характеризует | Обозначение | Особенность |
|---|---|---|---|
| Вектор | Перемещение: длину и направление | AB со стрелкой сверху; a со стрелкой сверху | Порядок букв задаёт направление |
| Длина вектора | Величину вектора | |AB|, |a| | Неотрицательное число |
| Равные векторы | Совпадение длины и направления | a = b | Могут располагаться в разных местах |
| Нулевой вектор | Перемещение нулевой длины | AA со стрелкой сверху | Начало совпадает с концом; направления нет |
Пользуясь таблицей, сначала определите, нужно ли назвать сам вектор или только его длину. Для проверки равенства сверяйте одновременно направление и длину. Особенность нулевого вектора ищите по совпадению его начала и конца.
Условие. На чертеже изображены несколько направленных отрезков. Нужно указать, какие из них задают вектор AB, и записать его обозначением. Чертёж может содержать отрезки с теми же точками, но разным порядком букв, поэтому сначала выясним направление.
Ответ. Вектор AB задаёт отрезок со стрелкой от A к B; его обозначение — AB со стрелкой сверху. Отрезок, направленный от B к A, обозначает другой вектор.
Условие. Нужно сравнить два изображённых вектора по длине и направлению и решить, равны ли они. Их положение на чертеже может отличаться, поэтому само по себе это различие не помогает сделать вывод. Проверим оба условия равенства по отдельности.
Ответ. Векторы равны, если их длины и направления одинаковы. Если совпадают только длины или только направления, векторы не равны.
Условие. В параллелограмме ABCD нужно записать пары равных векторов, указать их длины и назвать нулевой вектор, если его начало и конец совпадают. Обозначим длины сторон AB и BC буквами a и b. Направление каждой пары проверим по порядку обхода вершин.
Ответ. Равные пары: AB = DC и AD = BC; длины пар соответственно a и b. Нулевой вектор — AA со стрелкой сверху. При проверке важно сравнивать именно направления: другие обходы сторон могут дать противоположные векторы.
Считать равными векторы одинаковой длины. Так ошибаются, потому что на чертеже длину легко заметить, а направление можно упустить. Проверьте, куда указывают обе стрелки: для равенства должны совпасть и длина, и направление.
Путать AB и BA. Отрезок между точками один и тот же, поэтому кажется, что порядок букв не важен. Но он задаёт начало и конец, а перестановка меняет направление на противоположное. Для самопроверки прочитайте обозначение как движение от первой точки ко второй.
Обозначать длину так же, как вектор. Ошибка возникает, когда не замечают, что обозначение вектора и его длины отвечают на разные вопросы. У длины ставят вертикальные черты: |AB| или |a|; результатом является число, а не направленный отрезок. Проверьте, требуется ли описать перемещение или только его величину.
Приписывать направление нулевому вектору. Иногда его принимают за очень короткий вектор с обычной стрелкой. Но у него начало и конец совпадают, поэтому сторону движения определить нельзя. Проверьте совпадение точек: тогда длина равна нулю, а направление не задано.
Для изучения векторов нужны знакомые понятия отрезка, его длины, а также параллельных и равных отрезков. Они помогают читать чертёж и сравнивать геометрические объекты, но у вектора дополнительно учитывается направление. Позже векторы будут складывать и вычитать, задавать координатами и применять при решении геометрических задач. Поэтому умение различать вектор и его длину станет основой для дальнейших тем.
Чем вектор отличается от отрезка?
Обычный отрезок задаёт длину и положение на чертеже, но не направление. Вектор — направленный отрезок: он характеризуется длиной и тем, куда направлен.
Как понять, в какую сторону направлен вектор AB?
Первая буква обозначает начало вектора, а вторая — его конец. Значит, вектор AB направлен от точки A к точке B.
Могут ли равные векторы находиться в разных местах чертежа?
Да. Их положение может быть разным, если длина и направление совпадают. Поэтому при сравнении векторов проверяют эти два условия, а не то, где они нарисованы.
Как обозначают длину вектора?
Длину вектора AB записывают как |AB|, а длину вектора a — как |a|. Это неотрицательное число, тогда как сам вектор обозначает направленный отрезок.
Есть ли направление у нулевого вектора?
Нет. У нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому нельзя указать, в какую сторону он направлен. Его длина равна нулю.
4.1. Вектор
