"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Координаты вектора показывают, на сколько единиц он перемещает точку по горизонтали и вертикали. Их записывают парой чисел: первое задаёт перемещение вдоль оси x, второе — вдоль оси y. По координатам можно найти вектор по двум точкам, построить его из любого выбранного места и сравнить векторы, не обращая внимания на их положение. Это превращает геометрические действия с направленными отрезками в вычисления с числами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координаты вектора — это числа, которые показывают, на сколько единиц вектор перемещает точку вдоль каждой координатной оси. Их записывают упорядоченной парой: например, вектор a = (3; −2) перемещает на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Первое число относится к горизонтальной оси x, второе — к вертикальной оси y. Такая запись помогает описывать векторы числами и выполнять с ними вычисления.
Координатные векторы — это векторы единичной длины, направленные вдоль положительных координатных осей. Вектор i направлен вдоль оси x, а вектор j — вдоль оси y; их координаты соответственно (1; 0) и (0; 1). Любой вектор можно составить из некоторого числа таких горизонтальных и вертикальных шагов. Поэтому координатные векторы служат удобными «направлениями-основами» для записи других векторов.
Равные векторы — это векторы одинаковой длины и направления; на координатной плоскости у них совпадают соответствующие координаты. Например, векторы (2; 1), отложенные из разных точек, равны: каждый перемещает на 2 единицы вправо и на 1 вверх. Их начальные точки могут не совпадать. Это определение позволяет сравнивать векторы по их перемещениям, а не по расположению.
Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают; его координаты равны (0; 0). Он не задаёт перемещения ни вдоль горизонтальной, ни вдоль вертикальной оси. Нулевой вектор нужен, в частности, чтобы обозначать отсутствие изменения при сложении векторов. Хотя его длина равна нулю, его координаты по-прежнему записывают парой чисел.
Координатные оси и выбранные на них единичные отрезки задают систему, в которой перемещение можно измерить числами. Чтобы определить координаты вектора, достаточно узнать, на сколько единиц он сдвигает точку по горизонтали и по вертикали. Направление учитывают знаком: движение против положительного направления оси записывают отрицательным числом. Например, перемещение на 4 единицы влево и на 3 вверх задаётся парой (−4; 3).
Любой вектор можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, потому что движение от его начала к концу состоит из сдвигов вдоль двух осей. Эти составляющие определяются проекциями вектора на оси: проекция показывает, сколько единиц приходится на соответствующее направление. Горизонтальный сдвиг задаёт первую координату, вертикальный — вторую. Их сочетание приводит в ту же конечную точку, что и исходный вектор.
Если известны координаты начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂), то координаты AB находят вычитанием: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Причина такого порядка в том, что нужно измерить изменение координаты при переходе от A к B. Например, если точка переместилась с x = 1 на x = 5, сдвиг равен 5 − 1 = 4, то есть направлен вправо. Для вертикального сдвига действуют так же, отдельно сравнивая координаты y.
По заданным координатам вектор можно построить из любой выбранной точки, потому что его координаты описывают перемещение, а не место начала. Сначала отложи первое число по горизонтали, затем второе — по вертикали, следя за знаком каждого числа. Например, для (−3; 2) нужно пройти 3 единицы влево и 2 вверх. Отрезок со стрелкой от выбранной точки к конечной и будет искомым вектором.
Равенство векторов определяется равенством их соответствующих координат, поскольку одинаковая пара чисел означает одинаковый сдвиг по обеим осям. Совпадение начальных точек для этого не требуется: один и тот же сдвиг можно выполнить из разных мест. Если хотя бы одна координата отличается, изменяется перемещение по соответствующей оси, поэтому векторы уже не равны. Так координатная запись заменяет сравнение положения стрелок проверкой двух чисел.
| Ситуация | Правило |
|---|---|
| Вектор по координатам начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂) | AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) |
| Равные векторы | (a; b) = (c; d), если a = c и b = d |
| Нулевой вектор | (0; 0) |
| Координаты суммы двух векторов | (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) |
| Координаты вектора, умноженного на число | k(a; b) = (ka; kb) |
Сначала найди, к какой ситуации относится задача, затем подставь известные координаты в соответствующее правило. В каждой паре первая координата отвечает за ось x, а вторая — за ось y, поэтому вычисления ведут отдельно. Для вектора между точками особенно внимательно следи за порядком: конец минус начало.
Координаты вектора показывают изменение положения от A к B, поэтому координаты начала вычитаются из координат конца. Сначала сравним значения x, затем — значения y. Такой порядок сохраняет направление движения.
По горизонтали: 5 − 1 = 4. Значит, вектор направлен на 4 единицы вправо.
По вертикали: 4 − 2 = 2. Значит, он поднимается на 2 единицы.
Объединим полученные перемещения в пару: AB = (4; 2).
Ответ: координаты вектора AB — (4; 2).
Пара координат задаёт перемещение от начальной точки C. Отрицательная первая координата означает движение влево, а положительная вторая — вверх. Поэтому сначала отложим горизонтальный сдвиг, затем вертикальный.
От точки C(1; −1) переместимся на 3 единицы влево: абсцисса конечной точки станет 1 − 3 = −2.
Затем поднимемся на 2 единицы: ордината станет −1 + 2 = 1. Конечная точка имеет координаты (−2; 1).
Проведём стрелку от C(1; −1) к точке (−2; 1). Разность координат конца и начала равна (−3; 2), поэтому построение выполнено верно.
Ответ: нужно построить вектор из C(1; −1) в точку (−2; 1).
В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому равны направленные векторы AB и DC. Пусть A(xₐ; yₐ), B(xᵦ; yᵦ), D(x𝒹; y𝒹), а искомая вершина C(x𝒸; y𝒸). Приравняем координаты векторов по двум осям и решим полученные равенства.
Найдём координаты AB: (xᵦ − xₐ; yᵦ − yₐ). Координаты DC равны (x𝒸 − x𝒹; y𝒸 − y𝒹).
Приравняем первые координаты: xᵦ − xₐ = x𝒸 − x𝒹, откуда x𝒸 = xᵦ + x𝒹 − xₐ.
Приравняем вторые координаты: yᵦ − yₐ = y𝒸 − y𝒹, откуда y𝒸 = yᵦ + y𝒹 − yₐ.
Подставим известные координаты A, B и D в найденные выражения. Проверка: векторы AB и DC должны получить одинаковые пары чисел.
Ответ: C(xᵦ + x𝒹 − xₐ; yᵦ + y𝒹 − yₐ).
Иногда координаты начала вычитают из координат конца не в том порядке, получая вектор, направленный противоположно заданному. Так случается, если забыть, что вектор AB идёт именно от A к B. Проверка: подставь координаты в выражение «конец минус начало» и оцени знак перемещения; если конечная точка правее начальной, первая координата должна быть положительной.
Можно ошибочно решить, что равные векторы обязаны иметь общее начало. Обычно так думают, потому что при изображении стрелки сравнивают рядом. На деле важны направление и длина, а не место на плоскости. Проверь равенство, сравнив обе координаты векторов: одинаковые пары означают равные векторы.
Координаты точки иногда принимают за координаты вектора, хотя они отвечают на разные вопросы. Точка показывает, где находится объект относительно начала координат, а вектор — какое перемещение нужно выполнить. Ошибку легко обнаружить: координаты вектора между двумя точками найди как разности координат, а не переписывай координаты одной из точек.
При сложении или вычитании векторов можно случайно соединить координаты разных осей, например сложить первую координату одного вектора со второй другого. Путаница возникает, когда пары рассматривают как четыре отдельных числа без учёта их порядка. Действия выполняются отдельно: первые координаты — с первыми, вторые — со вторыми. Для проверки подпиши компоненты x и y перед вычислением.
Для изучения координат вектора нужны прямоугольная система координат, координаты точки и понятия направленного отрезка и вектора. Эти знания объясняют, где расположен объект и какое перемещение связывает две точки. Координаты вектора затем помогают выполнять действия над векторами и применять координатный метод в геометрических задачах. С их помощью также находят длины отрезков: если координаты вектора равны (a; b), длина связанного с ним отрезка вычисляется по теореме Пифагора как √(a² + b²).
Почему при нахождении координат вектора нужно вычитать координаты начала из координат конца?
Вектор показывает перемещение от начала к концу. Поэтому по каждой оси сравнивают конечную координату с начальной: координата вектора равна координате конца минус координата начала. Такой порядок учитывает направление перемещения.
Могут ли равные векторы иметь разные начальные точки?
Да. Векторы равны, если у них одинаковые направление и длина, даже когда они расположены в разных местах плоскости. В координатной записи это означает совпадение обеих координат.
Чем координаты вектора отличаются от координат точки?
Координаты точки указывают её положение относительно начала координат. Координаты вектора описывают перемещение по горизонтали и вертикали, поэтому не задают место его начала. Один и тот же вектор можно отложить из разных точек.
Как построить вектор, если известны только его координаты?
Выберите точку, из которой будет начинаться вектор. Первое число показывает перемещение по горизонтали, второе — по вертикали: положительное значение означает движение в положительном направлении оси, отрицательное — в противоположном. Соедините начальную точку с полученной конечной.
Как определить по координатам, что вектор является нулевым?
Нулевой вектор имеет координаты (0; 0). Это значит, что перемещения нет ни по горизонтали, ни по вертикали, поэтому начало и конец вектора совпадают.
4.2. Координаты вектора
