87. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координаты вектора — числа, показывающие его проекции на координатные оси и полностью задающие вектор на плоскости. Обычно их записывают в скобках: a = (x; y), где x отвечает за горизонтальное, а y — за вертикальное смещение. По этим числам можно определить направление и длину вектора, не привязывая его к конкретному месту.

Координаты точки — числа, определяющие положение точки относительно начала координат и осей. Запись A(x; y) означает, что точка имеет координату x по горизонтальной оси и y по вертикальной. Эти числа нужны, чтобы вычислять смещение между точками и строить их на координатной плоскости.

Разность координат концов отрезка — способ получения координат вектора по начальной и конечной точкам. Для направленного отрезка AB из координат B вычитают соответствующие координаты A: сначала первые, затем вторые. Так получают именно перемещение от A к B, а не просто положения двух точек.

Равенство векторов означает совпадение их координат, направления и длины независимо от положения на плоскости. Например, одинаковые пары координат задают равные векторы, даже если их начала находятся в разных точках. Это позволяет сравнивать векторы вычислением, не совмещая их на чертеже.

Как это устроено

Пусть вектор AB начинается в точке A(x₁; y₁), а заканчивается в точке B(x₂; y₂). Чтобы понять его горизонтальное смещение, нужно сравнить координаты концов по горизонтали: оно равно x₂ − x₁. Вертикальное смещение равно y₂ − y₁ по той же причине. Поэтому координаты AB — это (x₂ − x₁; y₂ − y₁): вычитание начального положения из конечного показывает, насколько и куда переместились.

Первая координата сообщает, смещается ли вектор вправо или влево, а вторая — вверх или вниз. Положительное значение соответствует положительному направлению оси, отрицательное — противоположному. Длину находят по теореме Пифагора: горизонтальное и вертикальное смещения являются катетами прямоугольного треугольника, а вектор — его гипотенузой. Поэтому для вектора (x; y) длина равна √(x² + y²).

Равные векторы могут начинаться в разных точках, потому что положение на плоскости не меняет ни длину, ни направление самого перемещения. Если векторы равны, у них совпадают горизонтальные смещения и вертикальные смещения, а значит, совпадают и обе координаты. Это удобно проверять по записи: достаточно сравнить первые координаты между собой и вторые — между собой.

При сложении векторов складывают отдельно горизонтальные и вертикальные смещения: (x₁; y₁) + (x₂; y₂) = (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Так происходит потому, что общее перемещение по каждой оси складывается из перемещений по этой же оси. При вычитании из каждого смещения вычитают соответствующее смещение другого вектора. При умножении на число k обе координаты умножают на k, поскольку меняются сразу обе составляющие перемещения.

Нулевой вектор не имеет смещения ни по одной из осей, поэтому его координаты равны (0; 0), а длина — нулю. Если изменить направление ненулевого вектора на противоположное, каждое смещение станет противоположным по знаку. Поэтому координаты противоположного вектора для (x; y) равны (−x; −y). Такой вектор имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону.

Координатные формулы для векторов

В таблице сначала найди строку, соответствующую нужному действию, а затем подставь координаты в указанную формулу. При сложении, вычитании и умножении выполняй действия отдельно с каждой координатой. Для длины не забудь возвести координаты в квадрат и извлечь корень.

Разбор задач

1. Координаты и длина вектора

Условие. Даны точки A(−2; 3) и B(4; −1). Найти координаты вектора AB и его длину. Сначала определим, какие величины нужны: координаты направленного отрезка, а затем расстояние между его началом и концом. Важно сохранить порядок AB: конечная точка здесь B.

1. Вычитаем координаты A из соответствующих координат B: AB = (4 − (−2); −1 − 3).
2. Выполняем вычисления: AB = (6; −4). Положительная первая координата означает смещение вправо, отрицательная вторая — вниз.
3. Находим длину по формуле: |AB| = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13.

Ответ. AB = (6; −4), |AB| = 2√13. Проверка знаков показывает, что от A к B действительно нужно переместиться вправо и вниз. При вычислении длины отрицательный знак координаты исчезает после возведения в квадрат.

2. Действия с координатами

Условие. Даны векторы a = (3; −2) и b = (−1; 4). Найти координаты 2a − b и построить полученный вектор. Здесь требуется сначала увеличить вектор a в два раза, затем вычесть b. Каждый шаг выполняем покоординатно, не смешивая горизонтальные и вертикальные составляющие.

1. Умножаем обе координаты a на 2: 2a = (2 · 3; 2 · (−2)) = (6; −4).
2. Вычитаем координаты b: 2a − b = (6 − (−1); −4 − 4) = (7; −8).
3. Для построения откладываем от начала координат 7 единиц вправо и 8 единиц вниз, отмечаем конец и проводим направленный отрезок от начала к этой точке.

Ответ. 2a − b = (7; −8). Полученный вектор направлен вправо и вниз. Точка его конца при начале в координатном начале имеет координаты (7; −8).

3. Равные и противоположные векторы

Условие. При каком значении x векторы a = (x; 6) и b = (−2; 3) равны или противоположны? Для равенства должны совпасть обе соответствующие координаты. Для противоположности координаты одного вектора должны быть равны противоположным координатам другого.

1. Для равенства сравниваем первые координаты: x = −2. Вторые должны тоже совпасть, но 6 ≠ 3, поэтому равенство невозможно ни при каком x.
2. Для противоположности требуем, чтобы a = −b. Так как −b = (2; −3), должны выполняться x = 2 и 6 = −3 одновременно.
3. Второе условие неверно при любом x, поэтому противоположными эти векторы тоже быть не могут.

Ответ. Значения x, при котором векторы равны, нет; значения x, при котором они противоположны, тоже нет. Одной подходящей первой координаты недостаточно: условия должны выполняться для обеих координат одновременно. Это помогает не делать вывод по одной компоненте.

Типичные ошибки

Иногда координаты конечной точки вычитают из координат начальной и получают BA вместо AB. Ошибка возникает из-за того, что порядок букв теряется при вычислении. Проверяй запись: для AB всегда берётся B − A, а поменяв порядок точек, ты получишь противоположный вектор.

Другая ошибка — складывать длины или координаты, не соответствующие друг другу. При сложении и вычитании первые координаты обрабатывают с первыми, вторые — со вторыми; длины векторов не складывают вместо координат. Для проверки временно подпиши компоненты как горизонтальную и вертикальную и убедись, что в каждом действии они не перепутаны.

У противоположного вектора часто меняют знак только одной координаты или оставляют исходные знаки. Это происходит, когда противоположность понимают как движение в обратную сторону лишь по одной оси. Нужно поменять знаки обеих координат: (x; y) превращается в (−x; −y); проверка — их сумма должна дать (0; 0).

При вычислении длины можно забыть возвести координаты в квадрат или извлечь квадратный корень. В таком случае ответ не соответствует теореме Пифагора и может даже оказаться отрицательным. Сверяй формулу целиком: сначала x² + y², затем квадратный корень из суммы.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны координатная плоскость, координаты точек, направленные отрезки и действия с числами. Координаты переводят геометрическое перемещение в вычисления, поэтому с их помощью удобно решать задачи координатным методом. Эти приёмы пригодятся при изучении уравнений прямой и скалярного произведения, а также при решении других геометрических задач.

Что запомнить

• Координаты вектора AB равны координатам B минус координаты A.
• Вектор на плоскости задаётся двумя координатами.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• При сложении и вычитании векторов действия выполняют покоординатно.
• При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
• Координаты противоположного вектора получают сменой знаков.
• Длина вектора вычисляется по теореме Пифагора: для (x; y) она равна √(x² + y²).