"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Длина вектора показывает, насколько далеко его начало находится от конца, а расстояние между точками — длину соединяющего их отрезка. Эти величины удобно находить по координатам, даже если рисунок не дан: нужно определить разности координат и применить теорему Пифагора. На плоскости учитывают две координаты, в пространстве — три. Формулы помогают сравнивать отрезки и решать геометрические задачи координатным методом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина вектора — неотрицательное число, характеризующее его величину; её обозначают |a| или выражают длиной отрезка, изображающего вектор. Иными словами, она показывает, какова длина направленного отрезка независимо от того, куда он направлен. Эта величина нужна, чтобы сравнивать векторы и находить длины отрезков по координатам.
Координаты вектора — числа, показывающие изменения координат при переходе от начала вектора к его концу. Например, первая координата сообщает, насколько изменилось положение по горизонтальной оси, а вторая — по вертикальной. По ним можно восстановить направление и величину перемещения и применить формулы без чертежа.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки; оно не зависит от порядка точек. Поэтому расстояние от A до B такое же, как от B до A. Это понятие позволяет вычислять длины отрезков, когда известны координаты их концов.
Пусть вектор на плоскости имеет координаты (x; y). Его можно расположить так, чтобы начало было в начале координат, а конец имел координаты (x; y). Горизонтальное и вертикальное перемещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а отрезок-вектор соединяет начало с концом и становится гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому длина равна √(x² + y²).
Координаты вектора могут быть положительными, отрицательными или нулевыми: знак показывает направление перемещения по соответствующей оси. Но для длины направление несущественно, поскольку она измеряет размер отрезка. При возведении координат в квадрат отрицательные значения становятся положительными, а нулевая координата просто даёт нулевое слагаемое. Поэтому под корнем получается неотрицательная сумма, и сама длина тоже неотрицательна.
Для точек A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) координаты вектора AB находят вычитанием: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Это следует из смысла координат вектора как изменения положения: чтобы узнать, насколько изменилось значение координаты, нужно из конечного значения вычесть начальное. Например, перемещение из координаты 2 в координату 7 равно 7 − 2, а обратное перемещение — 2 − 7. Разности вычисляют отдельно для каждой оси, не смешивая x- и y-координаты.
Расстояние между A и B равно длине вектора AB. Подставив его координаты в формулу длины, получаем √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Разности показывают катеты прямоугольного треугольника: одна — перемещение по горизонтали, другая — по вертикали. Диагональный отрезок между точками является гипотенузой, поэтому к нему применима теорема Пифагора.
В пространстве точку задают тремя координатами, и перемещение имеет три составляющие: по осям x, y и z. Сначала в плоскости можно найти диагональ прямоугольника по двум первым изменениям, затем соединить её с перемещением по третьей оси. Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник, где искомое расстояние — пространственная диагональ. Два последовательных применения теоремы Пифагора дают формулу с тремя квадратами разностей.
| Что вычисляем | Данные | Формула |
|---|---|---|
| Длина вектора на плоскости | Координаты (x; y) | √(x² + y²) |
| Расстояние на плоскости | A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
| Длина вектора в пространстве | Координаты (x; y; z) | √(x² + y² + z²) |
| Расстояние в пространстве | A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
Сначала определи, ищешь ли ты длину вектора по его координатам или расстояние по координатам двух точек. Затем выбери формулу для плоскости или пространства и внимательно подставь значения. В формулах для точек каждую координату конца сопоставляй с координатой начала на той же оси.
Задача. Найдите длину вектора a = (3; 4). Его координаты задают два взаимно перпендикулярных перемещения, поэтому искомый вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника. Для длины нужно использовать оба значения и извлечь корень из суммы их квадратов. Полученный результат должен быть неотрицательным.
Ответ: 5.
Задача. Найдите расстояние между точками A(−2; 1) и B(4; 9). Удобно сначала определить перемещение от A к B по каждой оси, то есть найти координаты вектора AB. Так меньше риск перепутать вычисление координат вектора и последующее нахождение его длины. Разности будут равны 6 и 8.
Ответ: 10.
Задача. Найдите расстояние между точками A(1; −2; 3) и B(5; 1; −1). Поскольку у точек по три координаты, нужно учитывать перемещения по всем трём осям. Сначала находим разности соответствующих координат; отрицательная разность по третьей оси не означает отрицательного расстояния. При возведении в квадрат она даст положительное слагаемое.
Ответ: √41.
Первая ошибка — вычитать координаты в обратном порядке или смешивать координаты разных осей. Обычно это происходит, когда сразу подставляют числа, не записав пары координат. Если порядок концов выбран наоборот, само расстояние не изменится, но координаты вектора AB будут направлены неверно. Проверяй, что для каждой оси вычитается координата начала из координаты конца.
Вторая ошибка — не возводить разности координат в квадрат. Тогда отрицательное изменение по оси ошибочно уменьшает сумму, хотя длина должна учитывать размер перемещения, а не его направление. Причина часто в спешке при подстановке значений. Проверь, что квадрат стоит у каждой разности целиком: например, (−4)², а не −4².
Третья ошибка — оставить подкоренное выражение и назвать его расстоянием. Сумма квадратов действительно появляется в вычислении, но она равна квадрату длины, а не самой длине. Это происходит, если забыть последний шаг формулы Пифагора. После сложения слагаемых обязательно извлеки квадратный корень и при необходимости упрости ответ.
Четвёртая ошибка — считать, что длина вектора может быть отрицательной. Отрицательные координаты означают направление, а не отрицательную величину отрезка. Ошибку легко заметить: под корнем стоит сумма квадратов, поэтому она неотрицательна, а квадратный корень берут неотрицательным. Если получился знак минус перед длиной, проверь вычисления и смысл ответа.
Для работы с формулами нужно уметь находить координаты вектора по началу и концу: из координат конца вычитают координаты начала. Теорема Пифагора объясняет, почему длина вычисляется через сумму квадратов координат. Формула расстояния помогает проверять равенство отрезков: достаточно вычислить их длины и сравнить результаты. Это важный приём координатного метода, когда геометрическое условие переводят в вычисления с координатами. Длина вектора пригодится при изучении скалярного произведения и геометрии в пространстве.
Почему длина вектора не зависит от знаков его координат?
При вычислении длины координаты возводят в квадрат, поэтому их знак исчезает: например, (−3)² = 3². Под корнем получается сумма неотрицательных чисел, а длина не может быть отрицательной.
Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?
Из каждой координаты конца вычитают соответствующую координату начала. Для A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) получаем AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
Почему в формуле расстояния координаты нужно вычитать?
Вычитание показывает, насколько изменилось положение по каждой оси при переходе от одной точки к другой. Эти изменения являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого и есть расстояние.
Чем отличается формула расстояния на плоскости от формулы в пространстве?
На плоскости учитывают разности двух координат: x и y. В пространстве добавляют разность третьих координат z, поэтому под корнем находятся три квадрата.
Может ли расстояние между двумя точками быть отрицательным?
Нет, расстояние — это длина отрезка, поэтому оно неотрицательно. В формуле квадратный корень берут со знаком плюс; расстояние равно нулю только у совпадающих точек.
88. Длина вектора и расстояние между двумя точками
