§ 66. Прямоугольная система координат

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат — это две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчёта и выбранными положительными направлениями. Обычно горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную — осью ординат. Такая система позволяет задавать положение точки двумя числами, а не длинным описанием её места.

Координатная плоскость — плоскость, на которой задана прямоугольная система координат. Оси делят её на части и служат ориентиром для построения и поиска точек. Координатная плоскость нужна, чтобы изображать точки и сравнивать их положение.

Абсцисса и ордината — названия первого и второго чисел в записи координат точки. Первое число, абсцисса, показывает положение по горизонтали, а второе, ордината, — по вертикали. Эти названия помогают не перепутать, какое число связано с какой осью.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел, определяющая положение точки на координатной плоскости. Её записывают в скобках, например A(3; 2): сначала указывают абсциссу, затем ординату. Такая запись однозначно задаёт точку, если известны оси и единичные деления.

Как это устроено

Две перпендикулярные числовые оси с общим началом задают на плоскости два независимых направления. Горизонтальная ось показывает движение вправо и влево, вертикальная — вверх и вниз. Общая точка пересечения осей называется началом координат и соответствует нулю на обеих осях. Перпендикулярность удобна тем, что смещения по двум направлениям можно отсчитывать отдельно.

Чтобы указать положение точки на плоскости, одного числа недостаточно: оно описало бы только расстояние вдоль одной оси. Первое число задаёт, насколько точка смещена по горизонтали от начала координат, а второе — насколько она смещена по вертикали. Например, сначала можно найти нужную вертикальную линию, а затем нужную горизонтальную; их пересечение и будет точкой. Поэтому для общего случая требуются именно два числа.

Координаты записывают в скобках через точку с запятой: сначала абсциссу, затем ординату. Порядок нужен, чтобы каждое число имело своё место и было понятно, к какой оси оно относится. Если переставить числа, получится другая точка: A(3; 2) и B(2; 3) расположены по-разному. При чтении записи всегда проверяйте, какое число стоит первым.

Оси делят плоскость на четыре координатные четверти, которые считают против часовой стрелки, начиная с верхней правой. В первой четверти обе координаты положительны; во второй абсцисса отрицательна, а ордината положительна; в третьей обе координаты отрицательны; в четвёртой абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Знак зависит от направления на своей оси: вправо и вверх числа положительны, влево и вниз — отрицательны. Это позволяет определить четверть, не строя точку.

Для построения точки сначала найдите её абсциссу на горизонтальном направлении, а затем отложите ординату по вертикали. Например, для точки с положительной абсциссой нужно двигаться вправо, а с отрицательной — влево. После этого положительную ординату откладывают вверх, отрицательную — вниз. Пересечение двух выбранных направлений даёт нужную точку, потому что в ней выполнены оба условия.

Координаты точки и её положение на плоскости

Чтобы определить четверть, найдите знаки обеих координат в таблице и сопоставьте их с нужной строкой. Если одна координата равна нулю, точка лежит на оси, а не в четверти. Для начала координат обе координаты равны нулю.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости отметить точку A(3; 2).

Здесь обе координаты положительные, поэтому точка окажется справа и выше начала координат. Первое число относится к горизонтальной оси, а второе — к вертикальной. Отсчёт ведём по делениям, причём каждое число отсчитываем от начала координат.

1. Найдём на горизонтальной оси число 3 и отметим его направление вправо от начала координат.
2. Из этой отметки мысленно проведём линию вверх, параллельную вертикальной оси.
3. От начала координат отложим вверх 2 единицы и проведём линию параллельно горизонтальной оси.
4. Обозначим пересечение этих линий буквой A. Проверим: горизонтальное смещение равно 3, вертикальное — 2.

Ответ: точка A находится в первой четверти и имеет координаты (3; 2).

Задача 2. Определить координаты точки B, изображённой во второй четверти.

Поскольку точка находится во второй четверти, её абсцисса должна быть отрицательной, а ордината — положительной. Чтобы получить точные значения, нужно считать деления от начала координат, а не от края рисунка. Пусть по чертежу B расположена на 2 единицы левее и на 3 единицы выше начала.

1. Проведём от точки B мысленные направления к горизонтальной и вертикальной осям, чтобы оценить смещения по каждому направлению.
2. По горизонтали отсчитаем от начала координат 2 деления влево. Движение влево соответствует отрицательной абсциссе, поэтому x = −2.
3. По вертикали отсчитаем 3 деления вверх. Движение вверх соответствует положительной ординате, поэтому y = 3.
4. Запишем сначала абсциссу, затем ординату и сверим знаки со второй четвертью.

Ответ: B(−2; 3). Если на конкретном чертеже расстояния в делениях другие, знаки останутся такими же, а числа нужно считать по изображённой сетке.

Задача 3. Точка C имеет координаты (−4; 0), а точка D — (0; 4). Построить точки и сравнить их положение.

Нулевое значение одной координаты означает, что точка не смещена вдоль соответствующего направления. У точки C нулевая ордината, а у точки D нулевая абсцисса. Поэтому заранее можно понять, что они окажутся на разных осях.

1. Для точки C отложим по горизонтальной оси 4 единицы влево, так как абсцисса равна −4.
2. Ордината C равна 0, поэтому от полученного места не нужно смещаться вверх или вниз. Точка C лежит на горизонтальной оси.
3. Для точки D оставим абсциссу равной 0 и отложим по вертикальной оси 4 единицы вверх.
4. Сравним результаты: C находится на оси абсцисс, а D — на оси ординат. Ни одна из точек не принадлежит четверти.

Ответ: C(−4; 0) лежит на горизонтальной оси слева от начала, D(0; 4) — на вертикальной оси выше начала.

Типичные ошибки

Перестановка абсциссы и ординаты. Ошибка возникает, если не следить за порядком чисел или считать их равноправными. Но первое число всегда связано с горизонтальной осью, а второе — с вертикальной. Для проверки подпишите оси и прочитайте координаты по очереди: сначала x, затем y.

Неверные знаки в четвертях. Иногда знаки запоминают без связи с направлениями и путают соседние четверти. Проверяйте отдельно каждую ось: вправо и вверх — плюс, влево и вниз — минус. Затем сопоставьте полученную пару знаков с четвертью.

Точку с нулевой координатой относят к четверти. Это происходит, если воспринимать четверти как части плоскости без учёта разделяющих их осей. Но при нулевой ординате точка лежит на горизонтальной оси, а при нулевой абсциссе — на вертикальной. Проверьте, есть ли у точки смещение по обеим осям: если одно равно нулю, это не четверть.

Обе координаты откладывают вдоль одной оси. Так бывает, когда забывают, что каждое число задаёт отдельное направление. Абсциссу откладывают по горизонтали, а ординату — по вертикали. Для самопроверки начертите два перпендикулярных направления и проследите, что каждое число использовано только на своей оси.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны навыки, полученные при изучении числовой прямой: умение отмечать числа и различать положительные и отрицательные значения. Это помогает правильно выбирать направление движения от начала координат. Координатная плоскость пригодится при изучении графиков зависимостей и функций: график показывает связь между координатами точек. В геометрии координаты позволяют описывать положение точек и решать задачи на плоскости.

Что запомнить

• Координатные оси перпендикулярны и имеют общее начало отсчёта.
• Координаты точки записывают упорядоченной парой чисел.
• Первое число — абсцисса, второе — ордината.
• Абсциссу откладывают по горизонтальной оси, ординату — по вертикальной.
• Знаки координат определяют, в какой четверти расположена точка.
• Если одна из координат равна нулю, точка лежит на оси.