§ 64*. Изопериметрическая задача

Определения и обозначения

Изопериметрическая задача — поиск фигуры наибольшей площади среди фигур с заданным периметром. Периметр — это длина границы фигуры, а площадь показывает, сколько места она занимает. В такой задаче периметр сохраняют, а площадь стараются увеличить. Это помогает понять, какую форму выгоднее выбрать при ограниченной длине ограждения.

Изопериметрические фигуры — фигуры, имеющие одинаковый периметр. Например, квадрат и вытянутый прямоугольник могут иметь одну и ту же длину границы, но разные площади. Этот термин нужен, чтобы обозначить фигуры, которые можно честно сравнивать в задаче. Если периметры не равны, сравнение уже не отвечает исходному вопросу.

Изопериметрическое неравенство — утверждение о том, что площадь фигуры с данным периметром не превосходит определённого максимума. Иначе говоря, среди всех фигур с одинаковой длиной границы существует фигура, которая охватывает наибольшую площадь. Само неравенство указывает верхнюю границу площади, но не означает, что её достигает любая фигура. Оно позволяет установить, какая форма является самой выгодной.

Как это устроено

В изопериметрической задаче одна величина — периметр — задана заранее, а другую, площадь, требуется сделать наибольшей. Если бы периметр менялся, то увеличение площади могло бы объясняться просто тем, что граница стала длиннее. Поэтому его фиксируют, чтобы сравнивать именно формы фигур. Так задача превращается в поиск самого удачного распределения одной и той же длины границы.

Рассмотрим прямоугольники с периметром P. Из формулы P = 2(a + b) следует, что сумма сторон a + b = P/2 постоянна, а площадь равна S = ab. При заданной сумме произведение двух положительных чисел максимально, когда они равны: это можно увидеть из неравенства (a − b)² ≥ 0, откуда ab ≤ ((a + b)/2)². Поэтому наибольшую площадь имеет прямоугольник со сторонами a = b, то есть квадрат.

Если периметр прямоугольника не меняется, увеличение одной стороны требует уменьшения другой: их сумма остаётся прежней. Когда стороны становятся неравными, произведение уменьшается, а вместе с ним уменьшается и площадь. Например, при сумме 10 произведение 5 · 5 равно 25, а произведение 4 · 6 — только 24. Значит, квадрат не просто один из прямоугольников с заданным периметром, а тот, у которого площадь наибольшая.

Если разрешено сравнивать не только прямоугольники, а любые плоские фигуры, наибольшую площадь при заданном периметре имеет круг. Это утверждение шире свойства квадрата: квадрат оказывается лучшим лишь внутри класса прямоугольников. Круг равномерно распределяет границу вокруг внутренней области и не вытягивает её в отдельном направлении. Поэтому никакая другая плоская форма с той же длиной границы не охватывает большую площадь.

Равенство в изопериметрическом неравенстве достигается тогда, когда фигура является кругом. Любое отклонение от круглой формы при прежнем периметре означает, что граница распределена менее выгодно, и площадь становится меньше. Для прямоугольников похожее равенство достигается только у квадрата — но это вывод лишь для прямоугольников. Важно различать максимальную фигуру в ограниченном классе и максимальную фигуру среди всех плоских фигур.

Фигуры наибольшей площади при заданном периметре

Сначала выберите строку, подходящую к условию: результат зависит от того, какие фигуры разрешено сравнивать. В каждом случае периметр должен оставаться одним и тем же. Последний столбец показывает, при каком условии достигается наибольшая площадь.

Разбор задач

Прямоугольник с периметром 20 см

Нужно подобрать стороны так, чтобы площадь была наибольшей, не меняя периметр. Пусть стороны равны a и b. Формула периметра даёт постоянную сумму сторон.

1. Из 2(a + b) = 20 получаем a + b = 10.
2. Площадь S = ab. При сумме 10 произведение максимально, когда a = b.
3. Значит, a = b = 5 см, а S = 5 · 5 = 25 см².

Ответ: стороны 5 см и 5 см, наибольшая площадь — 25 см². Равные стороны выбраны не наугад: именно при них произведение двух чисел с постоянной суммой достигает максимума.

Участок с периметром 40 м

Участок должен оставаться прямоугольным, а длина ограждения задана. Поэтому ищем прямоугольник максимальной площади с периметром 40 м. Среди таких прямоугольников наибольшую площадь даёт квадрат.

1. Обозначим стороны участка a и b. Из 2(a + b) = 40 получаем a + b = 20.
2. Чтобы площадь ab была наибольшей, стороны должны быть равны.
3. Тогда a = b = 10 м, площадь равна 100 м².

Ответ: размеры участка — 10 м на 10 м. Периметр проверяется: 4 · 10 = 40 м, значит, условие соблюдено.

Круг и квадрат с периметром 40 см

Сравним фигуры при одинаковом периметре, иначе вывод был бы несправедливым. Для квадрата можно найти сторону, а для круга — радиус из формулы длины окружности P = 2πr. Затем сравним площади.

1. Сторона квадрата равна 40/4 = 10 см, поэтому его площадь — 100 см².
2. Для круга 2πr = 40, значит, r = 20/π см. Его площадь S = πr² = 400/π см², примерно 127 см².
3. Поскольку 400/π больше 100, площадь круга больше площади квадрата.

Ответ: площадь квадрата — 100 см², площадь круга — примерно 127 см². Результат согласуется с изопериметрическим утверждением: при том же периметре круг охватывает большую площадь.

Типичные ошибки

Считать, что любой прямоугольник с заданным периметром имеет максимальную площадь. Периметр фиксирует сумму сторон, но площади прямоугольников с этой суммой различны. Ошибку допускают, замечая только равенство периметров и забывая сравнить произведения сторон. Проверьте себя: если стороны неодинаковы, их произведение меньше, чем при равных сторонах с той же суммой.

Путать максимальную площадь при заданном периметре с минимальным периметром при заданной площади. Это разные формулировки: в первой фиксируют длину границы, во второй — площадь. Путаница возникает потому, что обе задачи сравнивают площадь и периметр. Перед решением выпишите отдельно, что дано и что требуется найти или сделать наибольшим.

Забывать деление на 2 при выражении стороны прямоугольника. Из P = 2(a + b) следует a + b = P/2, а не a + b = P. Ошибка появляется, если сразу принять периметр за сумму двух сторон. Проверьте выражение обратной подстановкой: после умножения суммы на 2 должен получиться исходный периметр.

Сравнивать круг и квадрат с разными периметрами. Большая площадь в таком сравнении может объясняться не формой, а большей длиной границы. Так ошибочно делают вывод о преимуществе одной фигуры, не выполнив условие задачи. Перед сравнением вычислите оба периметра и убедитесь, что они равны.

Связь с другими темами

Для решения понадобятся формулы периметра и площади прямоугольника, квадрата и круга. При работе с прямоугольником важно преобразовать выражение для периметра и помнить, что сумма двух сторон равна половине периметра. Максимум площади объясняется свойством произведения: при постоянной сумме оно наибольшее, когда множители равны. Эта идея встречается в задачах на оптимизацию, например при проектировании участка и выборе наиболее эффективной формы.

Что запомнить

• Изопериметрическая задача рассматривает фигуры с одинаковым периметром.
• Главный вопрос задачи — какая фигура имеет наибольшую площадь.
• Среди прямоугольников заданного периметра максимальную площадь имеет квадрат.
• При фиксированной сумме сторон произведение максимально, когда слагаемые равны.
• Среди плоских фигур заданного периметра максимальную площадь имеет круг.
• Равенство в изопериметрическом неравенстве достигается только для круга.
• При решении сначала нужно точно определить, что задано и что требуется максимизировать.