§ 63. Площади подобных фигур

Определения и обозначения

Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие линейные размеры пропорциональны. Соответствующими называют элементы, которые занимают одинаковое положение в двух фигурах. Это определение позволяет понять, можно ли сравнивать фигуры по правилу о площадях и какие именно стороны нужно сопоставить.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон второй фигуры к первой. Его обозначают буквой k: если стороны первой фигуры равны a₁ и второй — a₂, то k = a₂/a₁. Коэффициент показывает, во сколько раз длины изменились при переходе от первой фигуры ко второй, и задаёт порядок сравнения.

Отношение площадей подобных фигур — частное площади второй фигуры и площади первой, то есть S₂/S₁. Оно связано с коэффициентом подобия формулой S₂/S₁ = k². Эта запись нужна, чтобы переходить от изменения длин к изменению площадей и обратно.

Соответствующие элементы — пары сторон или углов, которые сравнивают друг с другом у подобных фигур. Например, у двух треугольников сопоставляют стороны, лежащие напротив равных углов, или используют порядок вершин, заданный в записи треугольников. Если выбрать не соответствующие стороны, отношение длин может оказаться неверным, поэтому пары нужно определить до вычислений.

Как это устроено

Представим два подобных многоугольника и сопоставим все их соответствующие стороны. Если одна сторона второй фигуры в k раз длиннее стороны первой, то такой же множитель будет у каждой другой пары соответствующих сторон. Причина в том, что подобие сохраняет пропорции: при увеличении фигуры не растягивается только одно направление, а все линейные размеры меняются согласованно. Поэтому для любой пары соответствующих сторон отношение второй длины к первой равно k.

Чтобы увидеть, откуда берётся квадрат, возьмём прямоугольник со сторонами a и b. Его площадь равна ab; если стороны увеличить в k раз, получится прямоугольник со сторонами ka и kb, а его площадь равна (ka)(kb) = k²ab. Значит, площадь увеличилась в k² раз: множитель появился дважды, по одному для каждой стороны. В подобных фигурах меняются в одинаковое число раз все линейные размеры, поэтому отношение площадей любых подобных фигур подчиняется тому же правилу, а не только прямоугольников.

Получаем теорему: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть S₂/S₁ = k². Обоснование состоит в том, что площадь измеряется в квадратных единицах, а при переходе к подобной фигуре меняются оба линейных направления. Их общий множитель k перемножается сам на себя. Теорема работает для любых подобных фигур, даже если они не являются прямоугольниками, потому что пропорционально изменяются все их размеры.

Теорему можно применять в двух направлениях. Если известен коэффициент подобия, возводим его в квадрат и получаем отношение площадей; например, при k = 4 площадь второй фигуры в 16 раз больше площади первой. Если дано отношение площадей, извлекаем квадратный корень: при S₂/S₁ = 16 получаем k = √16 = 4. Если известна ещё и площадь первой фигуры, площадь второй находим умножением S₁ на k².

В формулах важен порядок: k — это отношение линейного размера второй фигуры к размеру первой, поэтому k = a₂/a₁. В таком же порядке записывают площади: S₂/S₁ = k². Если поменять фигуры местами, коэффициент и отношение площадей тоже нужно перевернуть: вместо k будет 1/k, а вместо S₂/S₁ — S₁/S₂. Согласованный порядок помогает проверить, соответствует ли результат условию об увеличении или уменьшении.

Связь коэффициента подобия и площадей

Сначала выберите строку по тому, что известно в задаче, а затем используйте указанное соотношение. Площадь второй фигуры можно вычислить только тогда, когда известна площадь первой и коэффициент подобия. Перед подстановкой проверьте, что индексы 1 и 2 в формуле соответствуют выбранному порядку фигур.

Разбор задач

1. Отношение сторон треугольников

Стороны двух подобных треугольников относятся как 2:3. Найдите отношение их площадей. Считаем, что в этом порядке отношение 2:3 сравнивает соответствующую сторону первого треугольника со стороной второго. Значит, от первой фигуры ко второй длины увеличиваются в 3/2 раза.

1. Запишем коэффициент подобия в порядке «второй к первому»: k = 3/2.

2. По теореме возведём коэффициент в квадрат: S₂/S₁ = (3/2)² = 9/4.

3. Запишем полученное отношение в виде 9:4. Площадь второго треугольника больше площади первого, что согласуется с увеличением сторон.

Ответ: 9:4.

2. Отношение площадей многоугольников

Площади двух подобных многоугольников относятся как 25:49. Найдите отношение соответствующих сторон. Сохраняем порядок: первое число относится к первой фигуре, второе — ко второй. Поскольку площади связаны с квадратом коэффициента, для перехода к отношению длин нужно взять квадратный корень.

1. Запишем отношение площадей второй фигуры к первой: S₂/S₁ = 49/25.

2. Найдём коэффициент подобия: k = √(49/25) = 7/5.

3. Значит, отношение соответствующих сторон первой фигуры ко второй равно 5:7, как и данное в условии направление отношения площадей показывает, что вторая фигура больше.

Ответ: 5:7 для сторон первой и второй фигур; коэффициент от первой ко второй равен 7/5.

3. Площадь большего прямоугольника

Два подобных прямоугольника имеют коэффициент подобия 1,5, а площадь меньшего равна 24 см². Найдите площадь большего. Коэффициент 1,5 означает, что длины соответствующих сторон второго прямоугольника в 1,5 раза больше, чем первого, поэтому примем меньший прямоугольник за первую фигуру.

1. Возведём коэффициент в квадрат: k² = 1,5² = 2,25. Это отношение площадей большего прямоугольника к меньшему.

2. Умножим площадь меньшего на найденный множитель: S₂ = 24 · 2,25 = 54 см².

3. Проверим направление: площадь большего должна быть больше 24 см², и результат 54 см² этому соответствует.

Ответ: 54 см².

Типичные ошибки

Первая ошибка — приравнять отношение площадей коэффициенту подобия, например записать S₂/S₁ = k. Так делают, потому что переносят на площади правило для длин, но площадь зависит от двух линейных размеров. Возведите k в квадрат и проверьте: при увеличении сторон вдвое площадь должна стать вчетверо больше.

Вторая ошибка — забыть извлечь квадратный корень, когда по площадям нужно найти отношение сторон. Причина в том, что теорема сначала связывает площади с квадратом коэффициента. Для проверки подставьте найденное значение в формулу S₂/S₁ = k²: после возведения в квадрат должно получиться данное отношение площадей.

Третья ошибка — поменять порядок фигур в отношении. Это случается, когда коэффициент и отношение площадей записывают по разным направлениям. Перед вычислениями подпишите, где первая фигура, а где вторая, и убедитесь, что k = a₂/a₁, а отношение площадей равно S₂/S₁.

Четвёртая ошибка — применить теорему к любым двум фигурам. Одного сходства по виду или одинаковой площади недостаточно: фигуры должны быть подобны, то есть иметь равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие линейные размеры. Проверьте эти условия, прежде чем использовать равенство S₂/S₁ = k².

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся определение подобных фигур, умение составлять пропорции и находить коэффициент подобия. Нужно также знать, как вычислять площади простых фигур и извлекать квадратный корень из числа или дроби. Эти знания используются вместе: сначала находят отношение соответствующих сторон, затем переводят его в отношение площадей. Теорема помогает решать задачи на подобие треугольников, масштабирование чертежей и вычисление площадей.

Что запомнить

• У подобных фигур соответствующие линейные размеры пропорциональны.
• Коэффициент подобия показывает, во сколько раз изменились соответствующие длины.
• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
• Если линейные размеры увеличились в k раз, площадь увеличилась в k² раз.
• По отношению площадей коэффициент подобия находят извлечением квадратного корня.
• Порядок фигур в отношении площадей должен совпадать с порядком в коэффициенте подобия.