"Геометрия", Погорелов А.В.
Подобные фигуры имеют одинаковую форму: их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Это позволяет сравнивать их площади, даже если сами фигуры имеют разные размеры. Главное правило: отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон. Поэтому, зная коэффициент подобия, можно найти отношение площадей, а по отношению площадей — коэффициент и нужные размеры. Это правило пригодится в задачах о треугольниках, масштабах и периметрах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — это фигуры одной формы, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. В этом параграфе речь идёт о многоугольниках: их можно сравнивать по сторонам и углам, сопоставляя вершины в правильном порядке. Например, подобные треугольники могут быть разного размера, но сохраняют одинаковые углы. Это понятие нужно, чтобы переносить свойства одной фигуры на другую и сравнивать их размеры.
Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон двух подобных фигур. Если сравниваем первую фигуру со второй, коэффициент можно обозначить k: для соответствующих сторон a и b это отношение a/b. Порядок важен: если поменять фигуры местами, получится обратное отношение b/a. Коэффициент помогает выразить, во сколько раз одна фигура больше или меньше другой по линейным размерам.
Отношение площадей подобных фигур — это частное от деления площади одной фигуры на площадь другой, например S₁/S₂. Порядок в этом отношении должен соответствовать порядку сравнения сторон: сначала первая фигура, затем вторая. Связь с коэффициентом подобия состоит в том, что отношение площадей равно его квадрату. По этой связи можно найти площадь одной фигуры через площадь другой, не вычисляя каждую отдельно.
У подобных многоугольников соответствующие стороны пропорциональны: как бы мы ни выбрали пару таких сторон, их отношение будет одним и тем же. Это число и есть коэффициент подобия. Поэтому не нужно сравнивать каждую сторону отдельно: достаточно найти одну пару соответствующих сторон и правильно определить, в каком порядке записывается отношение. Остальные пары сторон дадут тот же результат, если фигуры действительно подобны.
Чтобы понять, как меняется площадь, начнём с прямоугольника. Его площадь равна произведению длины на ширину; если обе величины увеличить в k раз, получится (k · длина) · (k · ширина) = k² · площадь. Значит, площадь увеличится не в k, а в k² раз. Многоугольник можно разбить на треугольники, а подобные части увеличиваются по тем же линейным правилам, поэтому такой вывод распространяется на многоугольники.
Основное утверждение звучит так: отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих сторон. Если соответствующие стороны фигур 1 и 2 относятся как a/b, то S₁/S₂ = (a/b)². Квадрат появляется потому, что площадь зависит от двух линейных размеров, а при подобии каждый из них меняется в одинаковое число раз. Именно поэтому нельзя переносить отношение сторон на площади без возведения в квадрат.
Если коэффициент подобия первой фигуры ко второй равен k, то S₁/S₂ = k². При сравнении в обратном порядке коэффициент станет 1/k, а отношение площадей — (1/k)² = 1/k². Например, если первая фигура вдвое больше второй по соответствующим сторонам, то её площадь больше в четыре раза. Если поменять фигуры местами, отношение их площадей будет 1:4.
Утверждение работает в обе стороны. Зная коэффициент, возводим его в квадрат и получаем отношение площадей; если дано отношение площадей, извлекаем квадратный корень и находим отношение сторон. Например, из отношения площадей 16:9 следует отношение соответствующих сторон 4:3. Полученный коэффициент затем можно применить к периметрам или сторонам, если известна нужная величина.
| Что известно | Что следует | Формула |
|---|---|---|
| Коэффициент подобия первой фигуры ко второй: k | Отношение соответствующих сторон первой и второй фигур | k |
| Отношение соответствующих сторон первой и второй фигур | Коэффициент подобия | k = a₁/a₂ |
| Отношение площадей первой и второй фигур | Квадрат коэффициента подобия | S₁/S₂ = k² |
| Коэффициент подобия, если известно отношение площадей | Квадратный корень из отношения площадей | k = √(S₁/S₂) |
Сначала проверьте, какие фигуры стоят в числителе и знаменателе, и сохраняйте этот порядок во всех отношениях. Если известны стороны, найдите k; если известны площади, извлеките квадратный корень. Перед ответом оцените результат: у большей фигуры должны быть больше и соответствующие стороны, и площадь.
Задача 1. Два подобных треугольника имеют соответствующие стороны 4 см и 6 см. Найдите отношение их площадей. Сначала запишем отношение сторон именно в том порядке, в котором перечислены треугольники: первый ко второму. Затем возведём найденное отношение в квадрат, так как площади зависят от квадрата коэффициента подобия.
Задача 2. Площади двух подобных многоугольников относятся как 9:25. Найдите отношение их соответствующих сторон. Здесь дано отношение площадей, а требуется линейное отношение, поэтому нельзя оставлять числа 9 и 25 без изменения. Нужно извлечь квадратный корень из каждой части отношения, сохраняя порядок фигур.
Задача 3. Периметр меньшего из двух подобных многоугольников равен 24 см, а отношение площади большего к площади меньшего равно 16:9. Найдите периметр большего многоугольника. Сначала по отношению площадей определим, во сколько раз соответствующие стороны большего многоугольника длиннее. Периметры подобных фигур изменяются во столько же раз, как стороны.
Первая ошибка — считать, что площади относятся как коэффициент подобия. Так поступают, перенося на площадь правило для сторон, хотя площадь зависит от двух измерений. Проверка простая: если сторону увеличить вдвое, квадрат увеличится вчетверо, а не вдвое. Значит, отношение площадей нужно возводить в квадрат.
Вторая ошибка — забыть извлечь квадратный корень, когда по отношению площадей требуется найти коэффициент подобия. Отношение 9:25 относится к площадям, поэтому сторонам соответствует 3:5, а не 9:25. Проверьте результат возведением в квадрат: из 3:5 должно снова получиться 9:25. Если получается не исходное отношение, вычисление выполнено неверно.
Третья ошибка — перевернуть отношение площадей или сторон. Обычно это происходит, когда в одном месте сравнивают первую фигуру со второй, а в другом — вторую с первой. Перед вычислением подпишите фигуры индексами 1 и 2 и везде сохраняйте порядок: S₁/S₂ сопоставляйте с отношением сторон первой фигуры ко второй. Если порядок изменили, нужно перевернуть и отношение, и его квадрат.
Четвёртая ошибка — смешивать отношение периметров с отношением площадей. Периметры складываются из длин сторон, поэтому относятся как соответствующие стороны, то есть как k; площади относятся как k². Эту разницу часто упускают, потому что обе величины относятся к одним и тем же фигурам. Проверяйте, что именно требуется найти: для периметра применяйте линейный коэффициент, для площади — его квадрат.
Для этой темы нужно знать признаки и свойства подобных многоугольников и уметь находить отношения соответствующих сторон. Также пригодятся формулы площадей основных фигур и понимание того, как площадь меняется при изменении длины стороны. Новое правило помогает решать задачи на подобные треугольники, масштаб и нахождение размеров по площади. Оно связывает линейные измерения фигуры с её площадью.
Почему площади подобных фигур относятся не как стороны, а как квадраты сторон?
При увеличении длины и ширины фигуры в k раз каждый участок площади увеличивается в k раз по обоим направлениям. Поэтому площадь возрастает в k · k = k² раз. То же правило действует для многоугольника, который можно разбить на треугольники.
Как найти отношение площадей, если известен коэффициент подобия?
Возведите коэффициент подобия в квадрат. Например, если стороны первой фигуры относятся к соответствующим сторонам второй как 3:2, площади относятся как 9:4.
Как найти коэффициент подобия по отношению площадей?
Извлеките квадратный корень из отношения площадей. Если площади относятся как 25:16, то соответствующие стороны относятся как √25:√16, то есть 5:4.
Меняется ли формула, если сравнивать фигуры в обратном порядке?
Формула остаётся той же, но отношение переворачивается вместе с порядком фигур. Если стороны первой и второй фигур относятся как k, то площади первой и второй относятся как k²; в обратном порядке это будет 1/k².
Как соотносятся периметры и площади подобных фигур?
Периметры относятся как соответствующие стороны, то есть как коэффициент подобия. Площади относятся как квадрат этого коэффициента. Поэтому отношение периметров нельзя подставлять вместо отношения площадей.
130. Площади подобных фигур
