"Геометрия", Погорелов А.В.
Радиусы вписанной и описанной окружностей связывают геометрию треугольника с его площадью и сторонами. Вписанная окружность касается всех трёх сторон, а описанная проходит через вершины. Для их радиусов есть удобные формулы: r = S / p и R = abc / (4S). По ним можно находить радиусы, если известны площадь и нужные размеры треугольника, а также проверять, какие данные потребуются для решения задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Радиус вписанной окружности r — расстояние от центра окружности, касающейся всех сторон треугольника, до любой его стороны. Окружность находится внутри треугольника и соприкасается с каждой стороной в одной точке. Это обозначение понадобится, когда будем находить размер такой окружности по площади и сторонам треугольника.
Радиус описанной окружности R — расстояние от центра окружности, проходящей через все вершины треугольника, до любой вершины. Все три вершины лежат на одной окружности, а расстояния от её центра до них равны. Буква R помогает отличать этот радиус от радиуса вписанной окружности.
Полупериметр p — половина периметра треугольника: p = (a + b + c) / 2, где a, b и c — длины его сторон. Иначе говоря, нужно сложить три стороны и разделить результат на два. Полупериметр понадобится в формуле для радиуса вписанной окружности.
Площадь треугольника S — величина, показывающая размер его поверхности. В формулах этого параграфа она связывает стороны треугольника с радиусами обеих окружностей. Если площадь неизвестна, для применения формул её сначала придётся найти.
Проведём из центра вписанной окружности радиусы к точкам касания со сторонами. Каждый такой радиус перпендикулярен стороне, поэтому он служит высотой маленького треугольника с основанием a, b или c. Площадь каждой части равна половине произведения её основания на r, а сумма трёх частей составляет площадь исходного треугольника. Поэтому S = (a + b + c)r / 2 = pr, откуда r = S / p.
Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон не случайно: кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют перпендикуляром. Радиус, проведённый к точке касания, как раз перпендикулярен стороне, поэтому длина такого отрезка равна r. Все эти радиусы одной окружности равны, значит, расстояние от центра до каждой стороны одинаково. Именно поэтому в трёх маленьких треугольниках можно использовать одну и ту же высоту r.
Для описанной окружности используется связь площади треугольника с длинами его сторон и радиусом окружности: S = abc / (4R). Здесь a, b и c — стороны, а R — радиус окружности, проходящей через вершины. Чтобы выразить радиус, умножим обе части равенства на R, а затем разделим на 4S. Получаем формулу R = abc / (4S).
Перед вычислением полезно выписать, что известно и что требуется найти. Для r, если дан периметр, сначала вычисляют p; для R проверяют, есть ли все три стороны и площадь. Затем значения подставляют в подходящую формулу и выполняют действия в правильном порядке. В конце проверяют единицы: например, стороны должны быть в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах.
Формулы отличаются тем, какие данные нужны. Для вписанной окружности достаточно площади и полупериметра, а для описанной — площади и произведения всех трёх сторон. Поэтому сначала определяют нужный радиус, а уже затем выбирают формулу. Так меньше риск подставить в вычисления лишние или неподходящие величины.
| Величина | Формула | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Радиус вписанной окружности r | r = S / p | Площадь S и полупериметр p = (a + b + c) / 2 |
| Радиус описанной окружности R | R = abc / (4S) | Стороны a, b, c и площадь S |
Сначала найдите в таблице нужный радиус и проверьте, все ли необходимые данные есть в условии. Если для r дан периметр, разделите его на два, чтобы получить p. Если площадь не дана, сначала вычислите её по известным величинам.
Площадь треугольника равна 24 см², а периметр — 16 см. Найдите радиус вписанной окружности. В формуле r = S / p требуется полупериметр, поэтому нельзя сразу подставлять периметр. Сначала найдём p, затем разделим площадь на полученное значение.
Ответ: 3 см.
Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см, а площадь — 84 см². Найдите радиус описанной окружности. Здесь известны все величины для формулы R = abc / (4S). Сначала удобно вычислить произведение сторон и знаменатель, а затем разделить одно на другое.
Ответ: 8,125 см.
Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 6 см, а площадь — 12 см². Нужно найти оба радиуса и сравнить их. Для r сначала найдём полупериметр, а затем отдельно применим формулу для R. Такой порядок помогает не смешать данные, используемые в формулах.
Ответ: r = 1,5 см, R = 3,125 см; радиус описанной окружности больше.
В формулу r = S / p иногда подставляют периметр вместо полупериметра. Так происходит, если забыть, что площадь каждого из трёх маленьких треугольников содержит множитель ½. Для проверки сначала отдельно вычислите p = (a + b + c) / 2 и только потом подставляйте его в формулу.
В формуле для R можно потерять множитель 4 и записать R = abc / S. Обычно ошибка возникает при преобразовании равенства S = abc / (4R). Проверьте результат обратной подстановкой: должно выполняться S = abc / (4R), а не S = abc / R.
Буквы r и R обозначают разные радиусы: строчная относится к вписанной окружности, прописная — к описанной. Их легко перепутать, если выбирать формулу только по буквам, не вспоминая смысл окружности. Перед вычислениями подпишите, какую окружность ищете, и проверьте, подходят ли данные к её формуле.
Нельзя смешивать, например, стороны в метрах и площадь в квадратных сантиметрах. Такая ошибка меняет численный ответ и мешает проверить его размерность. До подстановки приведите величины к согласованным единицам: если стороны выражены в сантиметрах, площадь должна быть выражена в квадратных сантиметрах.
Для работы с формулами нужно уметь находить площадь и периметр треугольника, а также понимать, что такое полупериметр. Эти знания помогают подготовить данные для вычисления радиусов. Формулы пригодятся в задачах, где по сторонам и площади требуется найти радиус или, наоборот, использовать радиус для поиска неизвестной величины. Связь радиусов с площадью и сторонами будет полезна и при дальнейшем изучении свойств треугольников.
Почему в формуле для r используется полупериметр, а не периметр?
При разбиении треугольника на три части их основаниями становятся стороны, а высота каждой части равна r. Сумма площадей равна ½(a + b + c) · r, поэтому появляется половина периметра, то есть полупериметр p.
Какие данные нужны, чтобы найти радиус вписанной окружности?
Нужны площадь треугольника S и его полупериметр p: r = S / p. Если дан периметр, сначала разделите его пополам.
Какие данные нужны, чтобы найти радиус описанной окружности?
Нужны площадь S и все три стороны a, b и c. Подставьте их в формулу R = abc / (4S).
Что делать, если в задаче не дана площадь треугольника?
Сначала найдите её по известным данным и подходящей формуле площади треугольника. Если данных недостаточно, попробуйте сначала вычислить недостающую сторону или высоту.
Как не перепутать формулы для r и R?
Строчная r относится к вписанной окружности, а прописная R — к описанной. Для r нужны площадь и полупериметр, а для R — площадь и произведение трёх сторон.
129. Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника
