§ 62. Площадь круга и его частей

Определения и обозначения

Площадь круга — величина, которую находят по формуле S = πr². Здесь S — площадь, r — радиус круга, то есть расстояние от центра до любой точки окружности, а π — особое число, примерно равное 3,14. Эта формула нужна, чтобы вычислять размер круглой области по одному известному радиусу.

Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности. Угол между радиусами называют центральным углом и обозначают α. По этому углу определяют, какую долю всего круга занимает сектор.

Круговой сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности, поэтому сегмент не имеет двух радиусов в качестве границ. Это отличие помогает выбрать правильную формулу при решении задачи.

Как это устроено

Радиус в формуле площади возводят в квадрат, потому что площадь зависит от двух направлений. Если радиус увеличить в 2 раза, длина и ширина условной области увеличатся в 2 раза, а число одинаковых маленьких частей — в 2² = 4 раза. При увеличении радиуса в k раз площадь поэтому увеличивается в k² раз.

Связь с числом π появляется из свойства окружности: её длина равна 2πr. Круг можно мысленно разрезать на множество узких секторов и сложить их попеременно острыми концами вверх и вниз. Получится фигура, похожая на прямоугольник: её высота приблизительно равна r, а основание — половине длины окружности, то есть πr, поэтому площадь приближённо равна r · πr = πr².

Чем больше таких частей, тем точнее получившаяся фигура напоминает прямоугольник. Так круг можно приближать многоугольниками или большим количеством узких секторов, а предельное значение площади выражается формулой S = πr². Поэтому формула не является случайным правилом, а следует из длины окружности и свойств площади.

Сектор образуется частью полного поворота вокруг центра. Полный угол равен 360°, поэтому сектор с углом α° занимает долю α/360° от всего круга. Его площадь находят умножением этой доли на площадь круга: Sсектора = (α/360°)πr².

Для сегмента сначала мысленно выделяют соответствующий сектор и треугольник с двумя радиусами и хордой. У меньшего сегмента сектор состоит из треугольника и искомой части, поэтому из площади сектора вычитают площадь треугольника. В каждой задаче также проверяют единицы: радиус и другие длины должны быть выражены одинаково, а результат площади — в квадратных единицах; при использовании радианной меры формулу сектора записывают с углом в радианах.

Площади круга и его частей

Сначала определите, о какой фигуре говорится в условии: о целом круге, секторе или сегменте. Затем проверьте, какие величины известны, и подставьте их в подходящую формулу. В таблице угол α указан в градусах; при другой единице измерения нужно использовать соответствующую формулу.

Разбор задач

Задача 1. Найдите площадь круга радиуса 5 см. Известен радиус, поэтому нужна формула площади целого круга. Ответ удобно оставить с π или заменить π приближённым значением.

1. Записываем формулу: S = πr².
2. Подставляем r = 5 см: S = π · 5² = 25π см².
3. Приближённо вычисляем: S ≈ 25 · 3,14 = 78,5 см².

Ответ: 25π см², или примерно 78,5 см².

Задача 2. Найдите площадь сектора радиуса 6 см с центральным углом 60°. Сначала находим площадь всего круга, затем определяем долю сектора. Угол 60° составляет 60/360 = 1/6 полного угла.

1. Площадь круга: Sкруга = π · 6² = 36π см².
2. Площадь сектора: Sсектора = (60/360) · 36π = 6π см².
3. Приближённо: Sсектора ≈ 6 · 3,14 = 18,84 см².

Ответ: 6π см², или примерно 18,84 см².

Задача 3. Радиус круга равен 5 см, а центральный угол сектора — 90°. Найдите площадь соответствующего меньшего сегмента. Границы сегмента образуют дуга и хорда, поэтому из сектора нужно убрать треугольник с двумя радиусами.

1. Площадь сектора: Sсектора = (90/360) · π · 5² = 25π/4 см².
2. Треугольник прямоугольный, так как угол между радиусами равен 90°. Его площадь равна ½ · 5 · 5 = 12,5 см².
3. Вычитаем: Sсегмента = 25π/4 − 12,5 ≈ 19,625 − 12,5 = 7,125 см².

Ответ: 25π/4 − 12,5 см², или примерно 7,125 см².

Типичные ошибки

Диаметр вместо радиуса. В формулу S = πr² иногда подставляют диаметр, потому что он дан в условии. Это даёт результат в 4 раза больше правильного, ведь d = 2r. Сначала разделите диаметр пополам и только потом возводите радиус в квадрат.

Забыто деление на 360°. Угол сектора умножают на площадь круга напрямую, не находя его долю. Проверьте, записано ли в решении α/360°: именно так сравнивают угол сектора с полным углом.

Сектор перепутан с сегментом. Сектор имеет две радиальные границы, а сегмент — хорду и дугу. Если в условии видна хорда, одной формулы сектора недостаточно: потребуется вычитание площади треугольника.

Неверные единицы площади. Запись «см» обозначает длину, а не площадь. После возведения сантиметров в квадрат результат должен быть записан в см²; также заранее приведите все длины к одной единице.

Связь с другими темами

До изучения площади круга нужны формула длины окружности и правило нахождения площади треугольника. Они непосредственно используются при выводе формулы круга и вычислении площади сегмента.

Центральный угол показывает, какая дуга и какая часть круга соответствуют сектору. Поэтому знание свойств углов и дуг помогает понять, почему в формуле появляется доля α/360°.

Эти формулы применяют в задачах на составные фигуры: например, при вычислении площади кольцевых, круглых и секторных элементов. Отдельные площади складывают или вычитают в зависимости от расположения частей.

Что запомнить

• Площадь круга радиуса r равна πr².
• Площадь круга измеряется в квадратных единицах.
• Сектор с углом α° составляет α/360° площади круга.
• Площадь сектора равна (α/360°)πr².
• Сегмент ограничен хордой и дугой.
• Площадь сегмента находят как разность площади сектора и площади треугольника.