"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Круг — это часть плоскости внутри окружности, а его площадь показывает, сколько места эта часть занимает. Зная радиус, можно вычислить площадь всего круга, а по центральному углу — площадь сектора, словно долю от целого. Если часть круга ограничена хордой и дугой, она называется сегментом; её площадь находят через сектор и треугольник. Эти формулы помогают решать задачи о круглых деталях, дорожках и других фигурах с дугами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность — только замкнутая линия, а круг включает и линию-границу, и всё пространство внутри неё. Это различие нужно, чтобы не путать длину окружности с площадью круга: площадь относится к плоской фигуре.
Площадь круга — величина части плоскости, занимаемой кругом. Её обозначают S и вычисляют по радиусу R: S = πR². Площадь показывает, сколько единичных квадратов уместилось бы внутри границы круга, поэтому результат записывают в квадратных единицах.
Сектор круга — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности. Два радиуса образуют центральный угол, вершина которого находится в центре круга. Сектор нужен, когда требуется найти площадь не всего круга, а его угловой части.
Сегмент круга — часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности. Хорда соединяет две точки окружности, а дуга проходит между ними по границе круга. Сегмент отличается от сектора тем, что его границу образуют не два радиуса, а хорда и дуга.
Чтобы увидеть, почему площадь круга равна πR², разделим его на множество узких секторов и будем мысленно располагать их попеременно вершинами вверх и вниз. Чем уже сектора, тем больше получившаяся фигура похожа на прямоугольник: его высота близка к радиусу R. Основание такого прямоугольника составлено примерно из половины длины окружности, то есть из πR. Площадь равна произведению основания на высоту, поэтому S ≈ πR · R = πR²; при всё более мелком делении это становится точной формулой.
Все секторы одного круга имеют одинаковую площадь на каждый градус центрального угла. Полный угол равен 360°, и ему соответствует вся площадь πR². Поэтому сектор с углом α занимает долю α/360° от круга: например, угол вдвое меньше полного даёт вдвое меньшую площадь. Причина в том, что при одном радиусе площадь сектора растёт вместе с охватываемой им частью круга.
Подставим площадь круга в найденную долю: Sсектора = α/360° · πR². Здесь α — центральный угол в градусах, R — радиус, а полный круг соответствует α = 360°. В записи деление на 360° показывает именно долю круга, поэтому заменять его на 180° нельзя. Формула сразу учитывает и размер круга, и то, какую часть он занимает.
Если соединить концы дуги сегмента с центром, появятся два радиуса и треугольник с хордой в качестве основания. Этот треугольник вместе с сегментом полностью составляют сектор, не перекрывая друг друга. Значит, чтобы оставить только сегмент, из площади сектора вычитают площадь треугольника. Для дуги меньше полуокружности это обычно меньшая часть сектора; при большем угле всё равно нужно вычесть именно площадь треугольника, лежащего внутри соответствующего сектора.
При неизменном угле увеличение радиуса в k раз увеличивает площадь круга и сектора в k² раз: в формуле радиус возводится в квадрат. Если радиус тот же, рост центрального угла увеличивает площадь сектора пропорционально углу. У сегмента изменение зависит и от площади сектора, и от площади треугольника, поэтому одной только длины хорды недостаточно, если неизвестно положение хорды относительно центра. При фиксированном радиусе большая хорда соответствует большему центральному углу до 180° и большему меньшему сегменту.
| Фигура | Данные для вычисления | Формула площади | Способ получения формулы |
|---|---|---|---|
| Круг | Радиус R | S = πR² | Разбиение круга на узкие сектора и переход к прямоугольнику с основанием πR и высотой R |
| Сектор круга | Радиус R и центральный угол α | S = α/360° · πR² | Доля α/360° от площади полного круга |
| Сегмент круга | Радиус, угол или данные для площади треугольника и соответствующего сектора | S сегмента = S сектора − S треугольника | Из площади сектора вычитают площадь треугольника с двумя радиусами и хордой |
| Полукруг и четверть круга как частные случаи сектора | Радиус R; угол 180° или 90° | Полукруг: ½πR²; четверть круга: ¼πR² | Подстановка угла в формулу площади сектора |
Сначала определите, какая именно фигура дана и какие её размеры известны. Для сектора используйте угол как долю от 360°, а для сегмента дополнительно найдите площадь треугольника. Если угол или радиус не указаны напрямую, проверьте, можно ли получить их из других данных задачи.
Задача 1. Найти площадь круга радиуса 5 см. Здесь известен радиус, поэтому достаточно применить формулу площади круга. Единица длины задана в сантиметрах, значит, площадь получится в квадратных сантиметрах. При подстановке возводим в квадрат именно радиус, а не число π.
Ответ: 25π см², или примерно 78,5 см².
Задача 2. Найти площадь сектора круга радиуса 6 см с центральным углом 120°. Сначала выясним, какую долю от полного круга составляет угол сектора. Полный угол равен 360°, поэтому сектор занимает 120/360 = 1/3 круга. Затем найдём площадь круга и возьмём от неё одну треть.
Ответ: 12π см², или примерно 37,68 см².
Задача 3. Найти площадь сегмента круга радиуса 6 см, если его дуга соответствует центральному углу 90°. Сначала найдём площадь сектора: угол 90° составляет четверть полного угла. Затем определим площадь треугольника с двумя сторонами-радиусами; при угле 90° эти радиусы перпендикулярны и являются катетами. Из площади сектора вычтем площадь треугольника, поскольку сектор состоит из этого треугольника и сегмента.
Ответ: 9π − 18 см², или примерно 10,26 см².
Подмена круга окружностью. Ошибка возникает, когда слова воспринимают как названия одной и той же фигуры. Но окружность — граница, а площадь занимает круг вместе с внутренней частью. Проверьте себя: если в задаче спрашивают площадь, ищите фигуру, ограниченную окружностью, а не длину самой линии.
Подстановка диаметра вместо радиуса. В формуле S = πR² буква R обозначает расстояние от центра до окружности, а не всю ширину круга. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому его использование без деления на два завысит результат в четыре раза. Перед вычислением запишите R = d/2, если дан диаметр.
Деление угла на 180° при нахождении сектора. Иногда угол сектора сравнивают с развёрнутым углом, забывая, что полный круг — это 360°. Так доля сектора получается неверной, а вычисленная площадь может быть больше нужной. Проверьте знаменатель: для обычного полного круга в формуле должно стоять 360°.
Сложение вместо вычитания при нахождении сегмента. Сегмент — часть сектора, оставшаяся за пределами треугольника, а не сектор вместе с треугольником. Ошибка появляется, если не представить, как части складываются в исходную фигуру. Проверьте связь: сектор = сегмент + треугольник, значит, сегмент = сектор − треугольник.
Для вычисления площади сегмента нужны формулы площади треугольника, а для работы с кругом — знания о радиусе, диаметре, хорде и центральном угле. Эти знания помогают переводить условия задачи в формулы: находить радиус по диаметру и определять нужную часть круга по углу. Площади круга и его частей встречаются при расчёте круглых деталей, дорожек, окон и секторов диаграмм. Позднее эти формулы пригодятся в задачах о длине окружности, объёмах тел вращения и составных фигурах.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг включает эту границу и всю часть плоскости внутри неё. Площадь есть у круга, но не у самой окружности.
Почему в формуле площади круга используется квадрат радиуса?
Если увеличить радиус в несколько раз, площадь увеличится в квадрат этого числа раз: круг становится больше сразу в двух направлениях. Поэтому в формуле появляется R². Число π учитывает соотношение размеров круга и его радиуса.
Как найти площадь сектора, если известен его центральный угол?
Разделите угол сектора α на 360° — так вы найдёте долю полного круга. Умножьте эту долю на площадь круга πR². Получится формула S = α/360° · πR².
Как определить, какую площадь вычитать при нахождении площади сегмента?
Сегмент и треугольник вместе составляют соответствующий сектор. Поэтому из площади этого сектора нужно вычесть площадь треугольника, стороны которого включают два радиуса, а третья сторона является хордой. Для треугольника используйте его основание и высоту или подходящую формулу.
Можно ли найти площадь части круга, если угол задан не в градусах, а другой величиной?
Да, если угол выражен в радианах, доля сектора от круга равна α/(2π), поскольку полный угол в радианах — 2π. Тогда площадь сектора равна S = αR²/2. Важно использовать одну и ту же единицу измерения угла при вычислениях.
11.4. Площадь круга и его частей
