"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Координатная плоскость помогает точно задавать положение точки, а вектор описывает направленное перемещение от одной точки к другой. Точка записывается парой чисел, а координаты вектора показывают, насколько и куда нужно сместиться по горизонтали и вертикали. По этим числам можно находить векторы, сравнивать их, складывать и умножать на число. Главное — соблюдать порядок координат и помнить, что действия выполняются отдельно по каждой оси.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, которые пересекаются в начале координат O. На осях выбирают единичные отрезки, чтобы измерять расстояния в одинаковых единицах. Точка записывается парой чисел (x; y): первое число задаёт положение по горизонтали, второе — по вертикали. Такая запись позволяет указать положение точки без подробного описания словами.
Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например вектор AB: он начинается в A и заканчивается в B. Обычный отрезок показывает длину между точками, а вектор дополнительно указывает направление перемещения. Поэтому при записи вектора порядок букв имеет значение.
Равные векторы — векторы с одинаковыми длиной и направлением, даже если они расположены в разных местах плоскости. Один из них можно мысленно перенести параллельно самому себе: если после переноса он совпадёт с другим, векторы равны. Это понятие нужно, чтобы сравнивать перемещения независимо от того, где они выполнены.
Координаты вектора — два числа, показывающие его смещение по каждой из координатных осей. Первое описывает перемещение по горизонтали, второе — по вертикали. Например, координаты (3; −2) означают смещение на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Благодаря координатам вектор можно задавать и вычислять без чертежа.
Координаты точки показывают её положение относительно начала координат. Сначала по горизонтальной оси находят первое число: положительное ведёт вправо, отрицательное — влево. Затем от найденного положения откладывают второе число по вертикали: положительное — вверх, отрицательное — вниз. Такой порядок удобен, потому что две оси задают независимые направления, а пара чисел однозначно определяет точку.
Координаты вектора находят как разности координат его конца и начала. Если A(x₁; y₁), а B(x₂; y₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁): разность по каждой оси показывает, насколько изменилось положение при движении из A в B. Сначала берут конечную точку, потому что перемещение измеряется от начального положения к конечному. Если поменять порядок, получится вектор BA, направленный обратно.
Равные векторы имеют одинаковые координаты, потому что одинаково смещают точку по обеим осям. Начала векторов могут быть разными, но величины горизонтального и вертикального смещений у них совпадают. Например, перемещение на 2 единицы вправо и 1 вверх будет одним и тем же в разных местах плоскости. Поэтому координаты позволяют проверить равенство векторов, не сравнивая их расположение.
При сложении векторов складывают отдельно первые и отдельно вторые координаты. Это связано с тем, что последовательное выполнение двух перемещений складывает их изменения по каждой оси: горизонтальные смещения дают общий горизонтальный результат, вертикальные — общий вертикальный. Например, если один шаг ведёт вправо, а другой влево, горизонтальные изменения частично компенсируются. Получившаяся пара координат описывает общее перемещение.
При умножении вектора на число умножают на него обе координаты, поскольку изменяются сразу оба составляющих перемещения. Положительное число сохраняет направление, а длина становится в это число раз больше, если множитель больше единицы, или меньше — если он между 0 и 1. Отрицательное число разворачивает вектор в противоположную сторону, а его длина изменяется в |k| раз. При умножении на ноль обе координаты становятся нулевыми, и перемещения не происходит.
| Что рассматриваем | Что означают координаты | Как записать или найти | Как использовать |
|---|---|---|---|
| Точка на координатной плоскости | Положение по горизонтали и вертикали | Записать (x; y) | Найти точку, отсчитав сначала x, затем y |
| Вектор с началом и концом в заданных точках | Смещение от начала к концу по двум осям | Из координат конца вычесть координаты начала | Описать перемещение или построить вектор |
| Равные векторы | Одинаковые смещения по обеим осям | Сравнить обе координаты | Проверить равенство независимо от положения |
| Сумма векторов | Общее смещение по каждой оси | Сложить соответствующие координаты | Описать несколько перемещений подряд |
| Умножение вектора на число | Изменённые смещения по обеим осям | Умножить каждую координату на число | Изменить длину и, возможно, направление |
Пользуйтесь таблицей так: сначала определите, что дано — точка, отдельный вектор или действие с векторами. Затем выберите подходящее правило записи или вычисления. Проверяйте, что координаты обрабатываются по соответствующим осям.
Задача 1. На координатной плоскости дана точка A(−2; 3). Укажите её координаты и объясните, как найти точку по такой записи.
Первое число пары — −2, значит, от начала координат нужно отложить 2 единицы влево по горизонтальной оси. Отрицательный знак показывает направление, а не то, что длина отрезка отрицательна.
Второе число — 3, поэтому от полученного положения нужно подняться на 3 единицы вверх. Так мы учитываем вертикальное положение точки отдельно от горизонтального.
Точка, найденная после этих двух перемещений, и есть A. Координаты уже указаны в условии: −2 — абсцисса, то есть первая координата, а 3 — ордината, вторая координата.
Ответ: A(−2; 3); точку находят, отложив 2 единицы влево и 3 вверх.
Задача 2. Даны точки A(1; −2) и B(4; 3). Найдите координаты вектора AB.
Вектор AB направлен из A в B, поэтому началом служит A, а концом — B. Чтобы найти горизонтальное смещение, вычитаем абсциссу A из абсциссы B: 4 − 1 = 3.
Теперь так же находим вертикальное смещение: из ординаты B вычитаем ординату A, получаем 3 − (−2) = 5. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение, поэтому движение по вертикали составляет 5 единиц вверх.
Записываем полученные смещения в прежнем порядке: сначала горизонтальное, затем вертикальное. Проверка: от A(1; −2) перемещение (3; 5) приводит к точке (1 + 3; −2 + 5) = B(4; 3).
Ответ: AB = (3; 5).
Задача 3. Даны векторы a = (2; −1) и b = (−3; 4). Найдите координаты вектора 2a + b и объясните, как выполнить построение.
Сначала умножаем a на 2: обе координаты увеличиваются в два раза, поэтому 2a = (4; −2). Геометрически это вектор того же направления, что и a, но вдвое длиннее.
Прибавляем b отдельно по каждой координате: 2a + b = (4 + (−3); −2 + 4) = (1; 2). Горизонтальные смещения дают 1, вертикальные — 2, поэтому их нельзя смешивать между собой.
Для построения можно сначала отложить вектор 2a, затем от его конца отложить b. Вектор из начала первого отрезка к концу второго показывает общее перемещение; его координаты должны быть (1; 2).
Ответ: 2a + b = (1; 2).
При нахождении координат AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Так ошибаются, если запоминают разность, но забывают направление вектора. Для AB всегда считайте B − A, а затем проверьте: прибавление полученного вектора к координатам A должно дать B.
Некоторые считают, что равные векторы обязаны начинаться в одной точке. Путают равенство векторов с совпадением нарисованных отрезков, хотя важно совпадение длины и направления. Сравните их координаты: если обе пары чисел одинаковы, векторы равны, даже при разных началах.
При сложении можно по ошибке прибавить первую координату одного вектора ко второй координате другого. Так происходит, когда забывают, что каждое место в паре отвечает за свою ось. Запишите пары столбиком и складывайте отдельно числа в первой позиции и числа во второй.
При умножении вектора на число иногда умножают только одну координату. Это меняет лишь часть перемещения и не соответствует умножению самого вектора. Проверьте, что множитель применён к обоим числам: k(a₁; a₂) = (ka₁; ka₂).
Для работы с координатами нужно уметь читать числа на числовой прямой и находить точки на координатной плоскости. Вычисление координат вектора опирается на вычитание и понимание упорядоченных пар, где у каждого числа своё место. Позже координаты и векторы помогают описывать геометрические преобразования, уравнения фигур и перемещения при решении задач. Поэтому эти записи связывают геометрию с арифметическими вычислениями.
Чем вектор отличается от отрезка?
Отрезок показывает только расстояние между двумя точками. Вектор — это направленный отрезок: у него есть и длина, и направление, поэтому порядок его начала и конца важен.
Почему координаты вектора AB находят как координаты B минус координаты A?
Вектор AB показывает перемещение из точки A в точку B. Чтобы узнать это перемещение по каждой оси, из координаты конечной точки B вычитают координату начальной точки A.
Могут ли равные векторы начинаться в разных точках?
Да. Векторы равны, если у них одинаковые длина и направление, даже когда их начала расположены в разных местах плоскости.
Как сложить два вектора, если известны только их координаты?
Сложите первые координаты друг с другом, а вторые — друг с другом. Например, (2; 3) + (−1; 4) = (1; 7).
Что происходит с направлением вектора при умножении на отрицательное число?
Направление меняется на противоположное. Длина вектора становится в |k| раз больше при умножении на число k, а при k = 0 получается нулевой вектор.
12. Координаты и векторы
