12.1. Декартовы координаты на плоскости

Определения и обозначения

Декартова система координат — это две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчёта. Горизонтальную ось обычно обозначают x, а вертикальную — y. Благодаря такому расположению положение точки можно описать двумя числами.

Координатная плоскость — плоскость, на которой выбрана декартова система координат. Оси x и y пересекаются в начале координат и делят плоскость на четыре четверти. Нумерация четвертей идёт против часовой стрелки от верхней правой области.

Абсцисса точки — её первая координата, которую обозначают x. Она показывает положение точки по горизонтальной оси: расстояние вправо от начала отсчёта положительно, а влево — отрицательно. Абсцисса нужна, чтобы определить, насколько точка смещена по горизонтали.

Ордината точки — вторая координата, которую обозначают y. Она показывает положение точки по вертикальной оси: вверх откладывают положительные значения, вниз — отрицательные. Вместе с абсциссой ордината однозначно задаёт точку.

Как это устроено

Начало координат служит общей точкой отсчёта для обеих осей. Сначала положение точки сравнивают с горизонтальным направлением, а затем с вертикальным. Поэтому для любой точки можно определить, сколько единиц нужно пройти вправо или влево и сколько — вверх или вниз.

Координаты записывают в порядке (x; y), потому что этот порядок связан с двумя последовательными шагами. Первое число показывает смещение вдоль горизонтальной оси, а второе — вдоль вертикальной. Если поменять числа местами, обычно получится другая точка, поскольку изменится её положение по обеим направлениям.

Чтобы найти координаты точки, через неё проводят или мысленно представляют перпендикуляры к осям. След пересечения с осью x даёт абсциссу, а след пересечения с осью y — ординату. Затем учитывают не только расстояние от начала координат, но и сторону: слева и ниже значения отрицательны.

Точку по координатам строят в обратном порядке действий. Сначала на оси x находят число x и проводят через него вертикальную линию, затем на оси y находят число y и проводят через него горизонтальную линию. Пересечение этих линий и есть искомая точка, потому что она одновременно имеет заданные горизонтальное и вертикальное положения.

Знаки координат показывают, в какой четверти расположена точка. В первой четверти знаки (+; +), во второй (−; +), в третьей (−; −), в четвёртой (+; −). Точка на оси не относится ни к одной четверти: на оси x её ордината равна 0, а на оси y абсцисса равна 0.

Абсцисса и ордината точки

Таблица помогает не перепутать названия координат и направления на чертеже. При чтении координат сначала обращайтесь к столбцу абсциссы, затем к столбцу ординаты. Это удобно и при построении точки, и при проверке готового ответа.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости нужно отметить точки A(2; 3), B(−4; 1) и C(0; −2). В каждой записи первое число относится к оси x, а второе — к оси y. Поэтому для каждой точки действия выполняются в одном и том же порядке.

1. Для точки A отложим 2 единицы вправо по оси x и 3 единицы вверх по оси y. На пересечении соответствующих линий получим A.
2. Для точки B отложим 4 единицы влево и 1 единицу вверх. Отрицательный знак у абсциссы определяет левую сторону от начала координат.
3. Для точки C абсцисса равна 0, поэтому точка лежит на оси y. От начала координат опустимся на 2 единицы, так как ордината отрицательна.

Ответ: A находится в первой четверти, B — во второй, а C лежит на отрицательной части оси y. Проверка выполняется по знакам координат и по тому, что у C первая координата нулевая.

Задача 2. Точка находится на три единицы левее начала координат и на две единицы выше него. Нужно определить её координаты, переведя описание положения в числа со знаками. Сначала рассматриваем горизонтальное, затем вертикальное направление.

1. Движение влево означает отрицательное направление оси x, поэтому абсцисса равна −3.
2. Движение вверх означает положительное направление оси y, поэтому ордината равна 2.
3. Запишем числа в принятом порядке: сначала x, потом y.

Ответ: координаты точки — (−3; 2). Она расположена во второй четверти, поскольку абсцисса отрицательна, а ордината положительна.

Задача 3. Точка A имеет координаты (−3; 2). Нужно построить её отражение сначала относительно оси x, затем относительно оси y. Отражение сохраняет расстояние до оси, поэтому меняется только координата, связанная с перпендикулярным направлением.

1. При отражении относительно оси x горизонтальное положение не меняется, а вертикальное меняет знак. Получаем точку A₁(−3; −2).
2. При отражении относительно оси y вертикальное положение сохраняется, а горизонтальное меняет знак. Если отражать исходную точку A относительно оси y, получим A₂(3; 2).
3. Проверим результат: точки A и A₁ имеют одинаковую абсциссу, а точки A и A₂ — одинаковую ординату.

Ответ: после отражения относительно оси x получается (−3; −2), а относительно оси y — (3; 2). Знак координаты меняется именно у того направления, в котором точка переходит на другую сторону оси.

Типичные ошибки

Обратный порядок координат. Иногда абсциссу и ординату меняют местами, потому что в речи сначала замечают вертикальное положение. Проверяйте запись правилом: сначала x и горизонталь, затем y и вертикаль.

Неверное направление для отрицательного числа. При построении отрицательной координаты число откладывают вправо или вверх, забывая о знаке. Ошибка появляется, когда учитывают только расстояние, но не направление. Проверьте себя: минус по x ведёт влево, а минус по y — вниз.

Нулевая координата у точки на оси. Можно ошибочно считать, что у точки на оси одной координаты нет. На самом деле она есть, но равна нулю: на оси x это y = 0, на оси y — x = 0. Подставьте координаты в запись и убедитесь, что точка действительно лежит на выбранной оси.

Четверть определяют по одному знаку. Одного числа недостаточно, потому что четверть задаётся сочетанием знаков x и y. Сначала выпишите оба знака, а затем сравните их с четырьмя вариантами четвертей. Если одна координата нулевая, точка находится на оси, а не в четверти.

Связь с другими темами

До изучения координатной плоскости нужно уверенно работать с числовой прямой. Важно уметь отмечать числа, различать положительное и отрицательное направления и понимать смысл расстояния от начала отсчёта.

Координатная плоскость используется при изучении графиков и функций, когда каждой точке или числу соответствует положение на чертеже. Она также помогает описывать геометрические преобразования: отражения, перемещения и симметрию фигур.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Абсцисса x соответствует горизонтальной оси.
• Ордината y соответствует вертикальной оси.
• Положительные направления осей обычно направлены вправо и вверх.
• Если точка лежит на оси x, её ордината равна нулю.
• Если точка лежит на оси y, её абсцисса равна нулю.
• Знаки обеих координат определяют четверть, в которой находится точка.