12.2. Уравнение линии

Определения и обозначения

Уравнение линии — равенство с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты всех точек данной линии. Например, у точек прямой y = 2x + 1 ордината равна удвоенной абсциссе плюс единица. Уравнение помогает описать линию численно и проверить, подходит ли точка к этому описанию.

График уравнения — множество точек координатной плоскости, координаты которых превращают уравнение в верное равенство. Каждое решение уравнения можно отметить как точку с координатами (x; y). Так становится видно, какую фигуру задаёт уравнение.

Уравнение прямой — уравнение, задающее на координатной плоскости прямую линию. Например, уравнения y = 2x + 1 и 3x − y + 2 = 0 задают прямые. Это понятие нужно, чтобы находить точки прямой и строить её по вычислениям.

Угловой коэффициент — число k в уравнении y = kx + b, показывающее изменение y при увеличении x на единицу. Если k положителен, значения y растут вместе с x, а если отрицателен — убывают. По k можно сравнить наклон прямых, не строя их целиком.

Как это устроено

Координаты точки проверяют подстановкой: первое число, абсциссу, ставят вместо x, второе, ординату, — вместо y. Для A(2; 5) в уравнении y = 2x + 1 получаем 5 = 2 · 2 + 1, то есть 5 = 5. Равенство верно, значит, точка принадлежит прямой. Если бы вышло, например, 5 = 6, точка не лежала бы на ней.

Почему линейное уравнение задаёт прямую? В уравнении ax + by + c = 0 переменные входят в первой степени, а их значения связаны постоянными коэффициентами. Если b не равно нулю, можно выразить y: y = −(a/b)x − c/b. Это уже вид y = kx + b₀, а при равных изменениях x значение y изменяется равномерно — именно так расположены точки прямой. Если b равно нулю, получится вертикальная прямая x = a₀.

Чтобы преобразовать общий вид ax + by + c = 0, перенеси слагаемые с x и свободный член в другую часть равенства, а затем раздели обе части на коэффициент при y. Например, 3x − y + 2 = 0 даёт −y = −3x − 2, а значит, y = 3x + 2. Здесь коэффициент при x равен 3, а свободный член — 2. Делить на коэффициент при y нельзя, если он равен нулю: тогда уравнение описывает вертикальную прямую.

В записи y = kx + b значение k определяет наклон: при увеличении x на единицу y меняется на k. Например, у y = 2x + 1 ордината растёт на 2, а у y = −x + 1 уменьшается на 1. Число b показывает, где прямая пересекает ось y: на этой оси x равен нулю, поэтому y = b. При k = 0 уравнение становится y = b, то есть получается горизонтальная прямая.

Прямую можно построить по таблице значений: выбери два или больше значения x и вычисли соответствующие y. Например, для y = 3x + 2 при x = 0 получаем y = 2, а при x = 1 — y = 5. Отметь точки (0; 2) и (1; 5), затем проведи через них прямую. Третья точка может помочь проверить вычисления, но для построения достаточно двух разных точек.

Виды уравнений прямой и их геометрический смысл

Таблица помогает выбрать способ построения по виду уравнения и заметить особые случаи. Сначала проверь, можно ли выразить y через x; для вертикальной прямой используй постоянную абсциссу.

Разбор задач

Проверка принадлежности точки

Задача. Проверить, принадлежит ли точка A(2; 5) прямой y = 2x + 1. Нужно выяснить, выполняется ли равенство при координатах именно этой точки. Поэтому абсциссу 2 подставляем вместо x, а ординату 5 — вместо y.

1. Подставим координаты в уравнение: 5 = 2 · 2 + 1.
2. Вычислим правую часть: 2 · 2 + 1 = 5.
3. Сравним части равенства: 5 = 5 — это верное равенство.

Ответ: точка A(2; 5) принадлежит прямой. Если бы после подстановки получилось неверное равенство, точка не лежала бы на ней.

Построение графика по общему виду

Задача. Построить график уравнения 3x − y + 2 = 0. В таком виде зависимость y от x сразу не видна, поэтому сначала приведём уравнение к привычной записи. Затем найдём две точки: так строить прямую проще, чем пытаться угадать её положение.

1. Перенесём слагаемые: −y = −3x − 2.
2. Умножим обе части на −1: y = 3x + 2.
3. Возьмём x = 0: тогда y = 2, получаем точку (0; 2).
4. Возьмём x = 1: тогда y = 5, получаем точку (1; 5).
5. Отметим обе точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Ответ: график — прямая y = 3x + 2, проходящая через точки (0; 2) и (1; 5). Подставив координаты каждой точки в исходное уравнение, можно проверить, что обе они ему удовлетворяют.

Уравнение по двум точкам

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через A(1; 3) и B(3; 7). Ищем уравнение вида y = kx + b: сначала узнаем, насколько меняется y при увеличении x на единицу, а затем найдём b. Абсциссы точек различны, поэтому прямая не вертикальная и такой вид подходит.

1. Найдём угловой коэффициент: k = (7 − 3)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
2. Подставим координаты точки A в y = 2x + b: 3 = 2 · 1 + b.
3. Получим b = 1, значит, уравнение прямой — y = 2x + 1.
4. Проверим точку B: 2 · 3 + 1 = 7, координаты подходят.

Ответ: y = 2x + 1. Проверка обеих точек подтверждает, что найденная прямая проходит через A и B.

Типичные ошибки

Путать абсциссу и ординату. При подстановке координат точки A(x; y) иногда меняют местами: первое число ставят вместо y, а второе — вместо x. Это происходит, если забыть, что координаты записываются именно в порядке x; y. Проверяй запись точки и отдельно отмечай, какое число подставляешь в каждую переменную.

Считать прямой график любой формулы с x и y. Наличие двух переменных ещё не означает, что линия будет прямой: например, уравнения с x² могут задавать кривую. Ошибку допускают, не проверив, в какой степени стоят переменные. У линейного уравнения переменные входят в первой степени; приведи уравнение к общему виду или вырази y через x.

Неверно понимать свободный член. В y = kx + b число b — не произвольная координата и не абсцисса пересечения с осью. Оно равно ординате точки пересечения с осью y, потому что на этой оси x = 0. Для проверки подставь x = 0: должно получиться y = b.

Строить прямую по одной точке. Через одну точку можно провести много разных прямых, поэтому одной найденной пары координат недостаточно. Такая ошибка возникает, когда принимают точку пересечения с осью за готовый график. Найди две различные точки, проверь их координаты и только потом проведи через них прямую.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением линии нужны координатная плоскость, умение отмечать точки по координатам и строить линейные уравнения. Если эти навыки знакомы, вычисленные пары чисел легко превратить в наглядный график. При необходимости повтори, как на плоскости различать оси x и y.

Уравнение y = kx + b задаёт график линейной функции. Поэтому при изучении функций та же прямая будет показывать, как меняется значение y при изменении x. Коэффициенты уравнения позволяют описать график и без построения.

Уравнения прямых понадобятся, чтобы находить точки пересечения и решать системы линейных уравнений. Координатный способ также помогает решать геометрические задачи: свойства фигур можно выразить через координаты и проверить вычислениями.

Что запомнить

• Уравнение линии описывает координаты всех её точек.
• Точка принадлежит линии тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.
• График линейного уравнения — прямая.
• В уравнении y = kx + b число k задаёт наклон прямой.
• Число b показывает пересечение прямой с осью y.
• Для построения прямой достаточно найти две её точки.
• Вертикальная прямая задаётся уравнением x = a.