12.3. Векторы на плоскости

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало, конец, направление и длина. Начало обозначают первой буквой, конец — второй, поэтому вектор из A в B записывают как AB со стрелкой сверху или называют вектором AB. Такое обозначение показывает не только расстояние между точками, но и перемещение от одной точки к другой.

Длина вектора — это длина отрезка, который его изображает. Её называют модулем вектора и обозначают, например, |a|. Модуль нужен, чтобы сравнивать, какое расстояние задают разные векторы, не смешивая это свойство с их направлением.

Равные векторы имеют одинаковые длины и одинаковые направления. Их начальные и конечные точки могут быть разными, поэтому равные векторы не обязаны лежать рядом. Это позволяет переносить вектор по плоскости, сохраняя задаваемое им перемещение.

Нулевой вектор — вектор нулевой длины, у которого начало и конец совпадают. Его можно обозначать как 0 или AA, если обе точки имеют имя A. Направление нулевого вектора не определяется, потому что из совпавшей точки нельзя указать, в какую сторону он направлен.

Как это устроено

Если точку переместить из A в B, направленный отрезок AB описывает это перемещение. Он сообщает сразу две вещи: расстояние между начальным и конечным положением и сторону движения. Поэтому одного размера отрезка недостаточно: движения на 3 см вправо и на 3 см влево задаются разными векторами.

Один и тот же вектор можно изобразить в разных местах, если сохранить его длину и направление. Для этого отрезок переносят параллельно, не поворачивая и не растягивая его. Такое изображение задаёт то же перемещение, потому что точке всё равно, где именно на плоскости оно начинается.

Чтобы сложить два вектора, сначала откладывают первый, например a, из выбранной точки. Затем из его конца откладывают второй вектор b в том же направлении и с той же длиной, что и исходный b. Вектор от начала первого отрезка до конца второго и есть сумма a + b: он показывает перемещение, полученное двумя последовательными шагами.

Если оба вектора откладывают из одной точки, их можно рассматривать как две стороны параллелограмма. Через концы этих векторов проводят параллельные прямые, а диагональ из общей начальной точки становится суммой. Это даёт тот же результат, потому что путь по двум сторонам и перемещение по диагонали имеют одинаковое общее начало и конец.

Вычитание заменяют сложением: a − b = a + (−b). Противоположный вектор −b равен b по длине, но направлен в обратную сторону. После такой замены можно применить обычное правило треугольника или параллелограмма и построить искомую разность.

Основные понятия и действия с векторами

Таблица помогает быстро отличить свойства вектора от действий с ним. При распознавании сначала проверяйте длину и направление, а при построении следуйте последнему столбцу. Формула для разности особенно полезна, когда нужно заменить незнакомое действие уже известным сложением.

Разбор задач

Задача 1. На плоскости изображены два направленных отрезка одинаковой длины и направления. Определите, равны ли соответствующие векторы. Их начальные точки могут находиться в разных местах, поэтому одного взгляда на расположение недостаточно.

1. Сравним длины отрезков. По условию они одинаковы.
2. Сравним стрелки: они направлены в одну сторону, значит, направления совпадают.
3. Положение отрезков не учитываем, так как вектор можно параллельно переносить без изменения его свойств.

Ответ: соответствующие векторы равны. Равенство следует из совпадения длины и направления, а не из близости или общего положения отрезков.

Задача 2. Из точки A отложены векторы AB и BC. Постройте их сумму и назовите полученный вектор. Здесь конец первого вектора B уже является началом второго, поэтому векторы расположены последовательно.

1. Первое перемещение переводит точку A в точку B.
2. Второе перемещение переводит точку B в точку C.
3. Соединяем начало первого вектора A с концом второго C и получаем результирующий вектор.

Ответ: AB + BC = AC. Вектор AC описывает то же общее перемещение, что и два последовательных перехода из A в B и затем из B в C.

Задача 3. Из точки O отложены векторы a и b. Постройте вектор a − b и объясните построение. Для вычитания сначала нужно превратить второй вектор в противоположный.

1. Построим вектор −b: его длина равна длине b, но стрелка направлена наоборот.
2. Заменим разность сложением: a − b = a + (−b).
3. Отложим −b от конца a и соединим начало a с концом −b.

Ответ: полученный вектор и есть a − b. Его построение основано на сложении вектора a с вектором, противоположным b, а не на попытке просто вычесть длины отрезков.

Типичные ошибки

Ошибка — считать векторы равными только потому, что их длины совпадают. Так происходит, когда ученик забывает о стрелках и сравнивает лишь расстояния. Проверьте себя: у равных векторов должны совпадать и длина, и направление.

Ошибка — думать, что равные векторы обязаны иметь общую начальную точку. Обычно так кажется при сравнении их на одном рисунке, но вектор можно параллельно перенести. Проверьте, сохраняются ли при переносе длина и направление.

Ошибка — при сложении соединять начала векторов. Такой отрезок не показывает два последовательных перемещения, потому что второй вектор не начинается там, где закончился первый. Проверьте построение: второй вектор нужно отложить от конца первого, либо использовать диагональ параллелограмма.

Ошибка — путать противоположный вектор с вектором того же направления. Противоположный вектор действительно имеет ту же длину, но его стрелка направлена в обратную сторону. Для проверки мысленно разверните стрелку, не меняя длину отрезка.

Связь с другими темами

До изучения векторов нужно уметь строить и сравнивать отрезки, измерять их длины и распознавать параллельные прямые. Эти навыки нужны для переноса вектора и построения параллелограмма. Без них трудно правильно проверить длину и направление.

Векторы пригодятся при изучении координат на плоскости, потому что координаты позволяют описывать их численно. Они также используются для изображения перемещений и в геометрических доказательствах. Сложение и вычитание векторов помогают заменить несколько шагов одним результирующим перемещением.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
• Нулевой вектор имеет длину 0.
• Сумму векторов можно построить по правилу треугольника.
• Правило параллелограмма даёт тот же вектор суммы.
• Вычитание вектора заменяется сложением с противоположным вектором.