12.4. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a·b = |a||b|cos∠(a,b). Здесь |a| и |b| обозначают длины векторов, а точка между буквами показывает скалярное умножение. Результат — число, не вектор. Оно учитывает не только длины, но и взаимное направление векторов.

Угол между векторами задают, когда векторы расположены так, что их начала совпадают: берут меньший угол между направленными отрезками. Его величина может быть от 0° до 180° включительно. При одинаковых направлениях угол равен 0°, при противоположных — 180°. Это позволяет связать положение векторов с численным значением их произведения.

Скалярный квадрат вектора — это произведение вектора на самого себя: a·a. По определению угол такого вектора с самим собой равен 0°, а cos 0° = 1, поэтому a·a = |a|². Иными словами, скалярный квадрат равен квадрату длины вектора. Это удобно, когда нужно заменить квадрат длины выражением со скалярным произведением.

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: a·b = 0. Действительно, при прямом угле cos 90° = 0, а значит, произведение длин на этот косинус тоже равно нулю. Обратное также верно для ненулевых векторов: из равенства произведения нулю следует, что косинус угла равен нулю. Условие позволяет проверять перпендикулярность вычислением.

Как это устроено

Чтобы определить угол, векторы удобно перенести так, чтобы их начала совпали. Перенос не меняет длину и направление вектора, поэтому не меняется и угол между его направлением и направлением второго вектора. Точки приложения — места, откуда нарисованы векторы, — можно выбирать разные: важно лишь расположение стрелок относительно друг друга. Так определение угла не зависит от конкретного рисунка.

Знак произведения объясняется знаком косинуса. При остром угле косинус положителен, поэтому произведение длин на него положительно; при прямом угле косинус равен нулю. При тупом угле косинус отрицателен, и скалярное произведение тоже отрицательно. Значит, по знаку результата можно понять, какой угол образуют ненулевые векторы.

При перестановке векторов произведение не меняется: a·b = b·a. Причина в том, что длины просто меняются местами в произведении, а угол между направлениями остаётся тем же. Умножение чисел коммутативно, поэтому |a||b| = |b||a|. Это свойство помогает менять порядок векторов в вычислениях без изменения ответа.

Формула для скалярного квадрата получается подстановкой одного и того же вектора в определение: a·a = |a||a|cos 0° = |a|². Для двух ненулевых векторов равенство a·b = 0 означает, что cos∠(a,b) = 0, а такой угол равен 90°. Поэтому нулевое произведение служит проверкой перпендикулярности, если оба вектора ненулевые.

Скалярное произведение распределяется относительно сложения: (a+b)·c = a·c + b·c. Смысл в том, что сумму можно умножить на вектор по частям, как раскрывают скобки в обычном произведении. Вместе с коммутативностью это позволяет раскрывать скалярные квадраты: (a+b)·(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b. Поскольку a·b = b·a, два средних слагаемых складываются в 2a·b.

Скалярное произведение: формулы и геометрический смысл

В таблице собраны частные случаи общего определения и свойства, нужные для преобразований. Сначала определите угол или взаимное направление векторов, затем выберите подходящую строку. Для условия перпендикулярности отдельно проверьте, что оба вектора ненулевые.

Разбор задач

Задача 1. Найти скалярное произведение векторов длиной 3 и 4, если угол между ними равен 60°. Здесь известны обе длины и угол, поэтому напрямую применяем определение. Значение cos 60° равно ½.

1. Записываем формулу: a·b = |a||b|cos∠(a,b).
2. Подставляем известные значения: a·b = 3·4·cos 60°.
3. Вычисляем: 3·4·½ = 6. Ответ: скалярное произведение равно 6.

Задача 2. Длины двух ненулевых векторов равны 5 и 2, а их скалярное произведение равно 0. Нужно определить угол между ними. Так как длины ненулевые, можно разделить формулу произведения на произведение длин; это уточнение важно для вывода об угле.

1. Подставляем данные в определение: 0 = 5·2·cos∠(a,b).
2. Так как 5·2 не равно нулю, получаем cos∠(a,b) = 0.
3. Из углов от 0° до 180° нулевой косинус имеет угол 90°. Ответ: векторы перпендикулярны, угол равен 90°.

Задача 3. Векторы a и b имеют длины 3 и 4, а угол между ними равен 60°. Найти квадрат длины вектора a+b. Сначала заменим квадрат длины скалярным квадратом суммы, а затем раскроем его по распределительному свойству. Смешанные слагаемые равны, потому что скалярное произведение коммутативно.

1. Записываем: |a+b|² = (a+b)·(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b.
2. Используем a·a = |a|², b·b = |b|² и a·b = b·a. Тогда |a+b|² = 3² + 2(a·b) + 4².
3. Находим смешанное произведение: a·b = 3·4·cos 60° = 6. Подставляем: 9 + 2·6 + 16 = 37. Ответ: квадрат длины суммы равен 37.

Типичные ошибки

Ошибка: перемножить только длины и не учесть косинус угла. Так получается верный результат лишь в особом случае одинакового направления, когда cos 0° = 1. Обычно забывают угловой множитель, потому что сосредотачиваются на известных длинах. Проверяйте, что в записи определения есть и |a||b|, и cos∠(a,b).

Ошибка: считать скалярное произведение положительным при тупом угле. Косинус тупого угла отрицателен, и произведение положительных длин на этот косинус тоже отрицательно. Эту ошибку допускают, не проверяя знак косинуса. Перед вычислением оцените угол: если он больше 90°, результат должен быть меньше нуля.

Ошибка: делать вывод о перпендикулярности только из равенства a·b = 0, не проверив векторы. Нулевой вектор имеет нулевое скалярное произведение с любым вектором, но у него нельзя определить обычное направление и угол. Поэтому для вывода о прямом угле нужны два ненулевых вектора. Сначала проверьте их длины, а уже потом применяйте условие.

Ошибка: при раскрытии (a+b)·(a+b) оставить только одно смешанное слагаемое или забыть, что a·b = b·a. Такое случается, если раскрывать скобки по аналогии, но не записать каждый член отдельно. Полная запись содержит a·a, a·b, b·a и b·b. Затем объедините два равных смешанных слагаемых в 2a·b.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны длина вектора, сложение векторов, понятие угла и значения косинуса для 0°, 90° и 180°. Поэтому знакомые свойства косинуса сразу показывают, как меняется знак произведения. Скалярное произведение, в свою очередь, помогает находить угол между векторами и проверять, перпендикулярны ли они. Формула скалярного квадрата суммы связывает его с нахождением длины суммы и теоремой косинусов.

Что запомнить

• a·b = |a||b|cos∠(a,b).
• Скалярное произведение — число, а не вектор.
• a·b = b·a.
• a·a = |a|².
• Для ненулевых векторов a·b = 0 тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.
• При остром угле произведение положительно, при прямом равно нулю, при тупом отрицательно.