§ 3. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a · b = |a| |b| cos α. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а α — угол между ними. Результат — именно число, поэтому такое произведение удобно для вычисления углов и проверки взаимного расположения векторов.

Угол между векторами — угол, образованный равными им сонаправленными векторами с общим началом. Его величина может быть от 0° до 180° включительно. Это определение позволяет сравнивать направления векторов, даже если изначально они расположены в разных местах плоскости.

Ненулевые векторы, направленные под прямым углом друг к другу, называют ортогональными. Для них косинус угла 90° равен нулю, поэтому их скалярное произведение равно нулю. Обратное тоже верно: если два вектора ненулевые и их произведение равно нулю, они перпендикулярны.

Если координаты векторов равны a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂), то a · b = x₁x₂ + y₁y₂. То есть перемножают первые координаты между собой, затем вторые, а полученные числа складывают. Эта формула позволяет вычислять произведение без построения векторов и измерения угла.

Как это устроено

В определении длины показывают размер каждого вектора, а косинус угла учитывает, насколько совпадают их направления. Если угол острый, его косинус положителен, при прямом угле он равен нулю, а при тупом становится отрицательным. Поэтому знак произведения сразу подсказывает, какой угол образуют ненулевые векторы. Одних длин для этого недостаточно: одинаковые по длине векторы могут быть направлены по-разному.

Если умножить вектор на себя, угол между этими одинаково направленными векторами равен 0°, а cos 0° = 1. Поэтому a · a = |a| |a| = |a|². Квадрат длины не может быть отрицательным, значит, произведение вектора на себя всегда неотрицательно. Оно равно нулю только для нулевого вектора.

Порядок векторов не влияет на результат: в формуле можно поменять местами длины, а угол между ними останется тем же, поэтому a · b = b · a. Это свойство называют переместительностью. Для суммы действует распределительность: (a + b) · c = a · c + b · c. Она связана с тем, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а в формуле произведения каждое слагаемое можно раскрыть отдельно.

Координатную формулу можно понять через длину и угол, но удобнее запомнить её напрямую: a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Координаты с одинаковыми индексами относятся к одному и тому же направлению осей, поэтому перемножают x₁ с x₂ и y₁ с y₂. Смешанные произведения вроде x₁y₂ здесь не нужны: они связывали бы координаты разных направлений. Знаки координат сохраняют, так что отрицательные значения тоже участвуют в вычислении.

Чтобы найти угол по координатам, сначала вычисляют скалярное произведение и длины векторов. Затем из равенства a · b = |a| |b| cos α получают cos α = (a · b) / (|a| |b|), после чего находят угол с таким косинусом. Формула применима, если оба вектора ненулевые, иначе в знаменателе окажется ноль. Полученное значение косинуса должно лежать от −1 до 1.

Основные свойства скалярного произведения

Таблица помогает выбрать нужное свойство: координатную формулу используют для вычисления, а условие перпендикулярности — для проверки направления. При преобразовании выражений применяй переместительность и распределительность. Перед выводом о перпендикулярности убедись, что оба вектора ненулевые.

Разбор задач

Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов длиной 4 и 5, если угол между ними равен 60°. Решение: применим определение, поскольку известны обе длины и угол. Подставим данные в формулу и вычислим косинус известного угла.

1. Запишем формулу: a · b = |a| |b| cos α.
2. Подставим значения: a · b = 4 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получим 4 · 5 · ½ = 10.

Ответ: 10. Произведение положительно, что согласуется с острым углом между векторами.

Задача 2. Вычислите скалярное произведение a = (2; −3) и b = (4; 1), затем определите, перпендикулярны ли они. Координаты уже даны, поэтому строить векторы и находить угол не требуется. Подставим их в формулу, сохраняя знак каждой координаты.

1. Используем правило: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Подставим координаты: a · b = 2 · 4 + (−3) · 1.
3. Вычислим: 8 − 3 = 5.
4. Поскольку 5 не равно нулю, ненулевые векторы не перпендикулярны.

Ответ: скалярное произведение равно 5; векторы не перпендикулярны. Знак результата также указывает на острый угол.

Задача 3. Найдите угол между a = (1; 1) и b = (1; −1), используя координаты. Сначала найдём произведение, затем длины и косинус угла. Такой порядок позволяет подставить всё известное в формулу косинуса.

1. Вычислим произведение: a · b = 1 · 1 + 1 · (−1) = 0.
2. Найдём длины: |a| = √(1² + 1²) = √2, |b| = √(1² + (−1)²) = √2.
3. Подставим в формулу: cos α = 0 / (√2 · √2) = 0.
4. Угол от 0° до 180°, косинус которого равен нулю, — 90°.

Ответ: угол равен 90°, поэтому векторы перпендикулярны. Это совпадает с выводом по нулевому скалярному произведению.

Типичные ошибки

Скалярное произведение иногда принимают за вектор, потому что операция выполняется над векторами. Но результатом определения является число, а не направление и длина нового вектора. Проверяй, что в ответе записано числовое значение. Например, выражение 2 · 3 · cos 60° равно числу 3.

Другая ошибка — просто перемножить длины и забыть косинус угла. Так получится верный результат только при угле 0°, когда векторы сонаправлены и cos 0° = 1. Подставляй угол в формулу целиком, даже если векторы кажутся похожими. Полезно заранее проверить знак: для тупого угла результат должен быть отрицательным.

Нулевое произведение не всегда означает, что один из векторов нулевой. Для двух ненулевых векторов оно означает перпендикулярность, а нулевой вектор тоже даёт ноль при умножении на любой вектор. Поэтому проверяй условие о ненулевых векторах, прежде чем делать вывод об угле. У нулевого вектора направление не задано.

При вычислении по координатам легко потерять минус или перемножить координаты с разными индексами. Для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) нужны только пары x₁, x₂ и y₁, y₂. Записывай подстановку отдельно и сохраняй знаки, например (−3) · 1 = −3. В конце проверь, что сумма получена именно из двух произведений.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны координаты и длина вектора, сложение векторов и умножение вектора на число. Также понадобится косинус угла: он связывает угол с числовым значением в формуле произведения. Поэтому перед вычислениями полезно уметь находить длину вектора по координатам и знать косинусы основных углов.

Скалярное произведение применяют, чтобы проверять перпендикулярность векторов и находить угол между ними по координатам. Вместо построения чертежа можно выполнить вычисления и воспользоваться условием a · b = 0 или формулой косинуса. Это помогает решать задачи, где направления заданы числами, а не готовым рисунком.

Что запомнить

• Скалярное произведение — число.
• По определению: a · b = |a| |b| cos α.
• a · b = b · a.
• a · a = |a|².
• Для ненулевых векторов a · b = 0 тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
• В координатах: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.