100. Измерительные работы

Определения и обозначения

Измерительные работы — применение геометрических знаний для определения расстояний и высот на местности. Например, так можно оценить ширину реки или высоту дерева, не добираясь до нужной точки и не поднимаясь к верхушке. Геометрия помогает заменить прямое измерение построением и расчётом. Поэтому такие работы связывают чертёж с реальными объектами.

Доступное расстояние — отрезок, оба конца которого можно отметить и расстояние между которыми можно измерить непосредственно. Например, можно отметить две точки на ровном участке и измерить расстояние между ними лентой. Такие отрезки используют как исходные данные для построений. Чем аккуратнее их измерили, тем надёжнее будет итог.

Недоступное расстояние — расстояние до точки, к которой нельзя подойти или которое нельзя измерить напрямую. Так бывает, если точка находится за рекой, на закрытом участке или высоко над землёй. В таких случаях измеряют другие, доступные отрезки. Затем геометрические связи позволяют узнать длину искомого расстояния.

Недоступная высота — высота объекта, которую нельзя измерить прямым прикладыванием мерной ленты. Например, высоту дерева или здания обычно не удаётся измерить от основания до верхней точки напрямую. Её можно определить по связанным с объектом доступным длинам. Один из способов использует длины теней и сравнение треугольников.

Как это устроено

Сначала на местности выбирают точки, которые можно точно обозначить, и отрезки, доступные для непосредственного измерения. Причина такого выбора проста: геометрическое построение не даст полезного результата без надёжных исходных данных. Затем отмечают, как эти отрезки связаны с искомым расстоянием. Так задачу о недоступном объекте превращают в задачу о знакомых фигурах.

Недоступное расстояние можно определить, построив на доступном участке треугольник, равный треугольнику с искомым отрезком. Равные треугольники имеют одинаковые соответствующие стороны, поэтому достаточно измерить сторону построенного треугольника. Само сходство на глаз не является доказательством: нужно показать, по каким сторонам и углам треугольники равны. Например, равенство можно установить по двум сторонам и углу между ними.

Чтобы перенести длину недоступного отрезка, выбирают доступные элементы исходной фигуры и строят соответствующий треугольник в удобном месте. При построении сохраняют нужные длины сторон и величины углов, чтобы треугольники оказались равными. После этого устанавливают соответствие вершин и сторон. Искомый отрезок равен соответствующей стороне доступного треугольника, которую уже можно измерить.

Высоту объекта иногда находят, сравнивая его тень с тенью предмета известной высоты. Если предметы стоят вертикально, а солнечные лучи можно считать параллельными, оба объекта образуют с землёй прямоугольные треугольники с одинаковыми острыми углами. Такие треугольники подобны: их соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому отношение высоты к длине тени для дерева такое же, как для предмета-образца.

Любой результат измерительной работы зависит от того, насколько точно отмечены точки, выполнены построения и измерены доступные отрезки. Небольшая ошибка в исходной длине может повлиять на вычисленное расстояние или высоту. Чтобы заметить неточность, измерение полезно повторить и сопоставить результаты. Если они сильно расходятся, нужно проверить разметку, построение и измерительный инструмент.

Способы определения недоступных размеров

Таблица связывает искомый размер с геометрической идеей и теми величинами, которые действительно можно измерить. Сначала выбери строку с нужным объектом, а затем проверь, какие данные нужны для вычисления. Отдельно следи за соответствием сторон треугольников: сравнивать можно только стороны, занимающие одинаковое положение.

Разбор задач

Задача 1. Нужно определить расстояние до точки на противоположном берегу, куда нельзя подойти. Выберем доступный отрезок на своём берегу и построим на нём треугольник, соответствующий треугольнику с искомым расстоянием. Успех зависит от того, чтобы соответствующие стороны и углы были заданы точно.

1. Отметим на своём берегу две доступные точки A и B и измерим отрезок AB.
2. Наметим в исходной фигуре направление к недоступной точке P и доступный угол при A.
3. На свободном участке построим отрезок A′B′, равный AB, и соответствующий угол при A′.
4. Построим второй угол так, чтобы получившийся треугольник A′B′P′ был равен треугольнику ABP по двум сторонам и углу между ними.
5. Установим, какая сторона A′P′ соответствует AP, и измерим A′P′.

Ответ: расстояние до точки P равно измеренной длине соответствующей стороны A′P′. Равенство треугольников объясняет, почему измерение на доступном участке даёт искомую длину. На практике полезно несколько раз проверить разметку и построенные углы.

Задача 2. Высота вертикального предмета-образца равна 1 м, его тень — 0,8 м, а тень дерева — 4 м. Нужно найти высоту дерева. Считаем, что солнечные лучи параллельны и измерения сделаны в одинаковых условиях: тогда треугольники предметов и теней подобны.

1. Сопоставим высоты предмета и дерева, а также их тени: это соответствующие стороны подобных треугольников.
2. Запишем пропорцию: высота дерева / 4 = 1 / 0,8.
3. Найдём высоту дерева: 4 · 1 / 0,8 = 5 м.

Ответ: высота дерева равна 5 м. Отношение высоты к длине тени одинаково для обоих треугольников. Если тени измерены не одновременно или предмет наклонён, полученный расчёт может оказаться неточным.

Задача 3. Нужно определить ширину участка, который нельзя пересечь для прямого измерения. Сначала выберем доступные точки по краям участка и представим искомую ширину как сторону треугольника. Для переноса этой длины потребуется построить равный ему треугольник на доступной земле.

1. Отметим доступный отрезок-основание и точки, направления на которые задают треугольник с искомой шириной.
2. Измерим доступные стороны и угол между ними, достаточные для построения равного треугольника, например две стороны и угол между ними.
3. На доступном месте отложим равную основанию сторону и построим равные соответствующие стороны и угол.
4. Проверим, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, и определим соответствующую искомой ширине сторону.
5. Измерим эту доступную сторону и запишем полученный результат.

Ответ: ширина равна длине соответствующей стороны построенного треугольника. Без проверки равенства построений перенос длины не обоснован. Значит, сначала проверяют известные элементы и их соответствие, а затем измеряют отрезок.

Типичные ошибки

Треугольники иногда считают равными только потому, что они выглядят одинаково на чертеже. Внешний вид зависит от аккуратности рисунка и сам по себе ничего не доказывает, поэтому у такого вывода нет надёжного основания. Проверь, назван ли признак равенства и указаны ли нужные стороны и углы. Если данных для признака нет, равенство ещё не установлено.

При измерении высоты по теням можно забыть, что предмет и образец должны стоять вертикально, а тени нужно измерять в одинаковых условиях. Тогда полученные треугольники могут не соответствовать выбранной модели, и пропорция даст неверный результат. Перед вычислением проверь положение предметов, направление света и способ измерения теней. Сомнительные условия лучше исправить и повторить измерение.

Ещё одна ошибка — составить пропорцию из сторон, которые не соответствуют друг другу. Её допускают, когда сразу подставляют числа, не отмечая вершины и стороны треугольников. Сначала найди равные углы или сопоставь положение сторон, а затем запиши отношения. После этого проверь, что в обеих частях пропорции стоят соответствующие величины.

Наконец, нельзя считать единственный результат абсолютно точным. Ошибки разметки и инструмента могут изменить измеренные длины, даже если вычисление выполнено верно. Повтори измерение и сравни полученные значения. Если разница велика, проверь точки, построения и инструмент, а не выбирай удобный ответ без проверки.

Связь с другими темами

Для измерительных работ нужны признаки равенства треугольников: с их помощью обосновывают перенос недоступной длины. Также важно уметь строить и измерять отрезки и углы, потому что они служат исходными данными на местности. Понятие параллельности помогает рассуждать о солнечных лучах и некоторых построениях. В теме подобия треугольников эти идеи получают продолжение: пропорции позволяют находить высоты и расстояния в практических задачах.

Что запомнить

• Недоступный размер находят через доступные измерения и геометрические соотношения.
• Для переноса расстояния используют равенство соответствующих сторон равных треугольников.
• Высоту по теням определяют с помощью подобия треугольников.
• В пропорции должны стоять соответствующие стороны.
• Точность результата зависит от точности построений и измерений.