"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Угол между векторами показывает, насколько различаются их направления. Чтобы его найти, векторы переносят так, чтобы их начала совпали, и рассматривают угол между лучами, направленными так же, как векторы. Угол определён только для ненулевых векторов и может быть от 0° до 180°. По его величине можно понять, сонаправлены ли векторы, перпендикулярны ли они или направлены противоположно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор — это направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Его направление задаётся движением от начала к концу, поэтому перестановка этих точек меняет вектор на противоположный. Длина показывает, насколько далеко друг от друга находятся начало и конец, а направление — куда указывает вектор. Это различие нужно, чтобы не путать векторы, которые лежат на одной прямой, но направлены по-разному.
Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а определённого направления нет: из одной точки нельзя понять, куда он направлен. Поэтому угол между нулевым и любым другим вектором не рассматривают. Для определения угла нужны два ненулевых вектора с заданными направлениями.
Угол между ненулевыми векторами — это угол между векторами, равными данным, если их отложить от одной точки. Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, поэтому их можно переносить, не меняя самого вектора. Величина угла между векторами находится от 0° до 180° включительно. Общее начало позволяет сравнить направления как стороны обычного угла.
Сонаправленные векторы направлены в одну сторону, а противоположно направленные — в разные стороны вдоль параллельных прямых. Угол между сонаправленными векторами равен 0°, между противоположно направленными — 180°. Значит, если векторы лежат на параллельных прямых, недостаточно знать только это: нужно ещё сравнить направления стрелок. Такое сравнение помогает правильно выбрать угол.
Чтобы определить угол между векторами, сначала переносят их так, чтобы начала совпали. Перенос допустим, потому что он не изменяет ни длину, ни направление вектора. Из общей точки проводят лучи в направлении каждого вектора. Угол между этими лучами и будет углом между векторами, причём выбирают угол не больше 180°.
Общую точку можно выбирать в любом месте, а сами равные векторы — откладывать где удобно. После переноса направления лучей остаются прежними: каждый луч указывает туда же, куда и соответствующий вектор. Поэтому не меняется и угол между лучами. Иначе говоря, величина угла зависит от направлений векторов, а не от того, где они нарисованы.
Если угол между векторами меньше 90°, он острый; если равен 90° — прямой; если больше 90°, но меньше 180°, — тупой. При 180° получается развёрнутый угол, а при 0° — нулевой. Границы здесь существенны: угол ровно 90° не считают ни острым, ни тупым. Так по величине угла можно назвать взаимное расположение направлений.
При сонаправленности лучи после переноса совпадают, поэтому угол между ними равен 0°. Если векторы противоположно направлены, лучи выходят из одной точки в разные стороны одной прямой и образуют развёрнутый угол 180°. В обоих случаях направления можно сравнить даже без измерения транспортиром. Нужно только убедиться, что векторы действительно направлены соответственно одинаково или противоположно.
Угол показывает, насколько одно направление отличается от другого. Если он небольшой, направления близки; если равен 90°, они перпендикулярны; если близок к 180°, они почти противоположны. Это относится именно к направлениям, поэтому длины векторов не влияют на угол. Короткий и длинный векторы могут образовать один и тот же угол, если направлены одинаково относительно друг друга.
| Величина угла | Название | Взаимное направление векторов |
|---|---|---|
| 0° | Нулевой | Векторы сонаправлены |
| От 0° до 90° | Острый | Направления образуют острый угол |
| 90° | Прямой | Векторы перпендикулярны |
| От 90° до 180° | Тупой | Направления образуют тупой угол |
| 180° | Развёрнутый | Векторы противоположно направлены |
Сначала сравните угол с 90°, а затем проверьте, не равен ли он 0° или 180°. Крайние значения показывают, сонаправлены векторы или противоположно направлены. Таблица помогает назвать угол и одновременно описать взаимное положение векторов.
На рисунке даны два вектора с общим началом. Определите вид угла между ними. Здесь не требуется сравнивать длины векторов: нужно рассмотреть два луча, выходящие из общей точки. Угол между ними можно определить по его величине или по известным данным о направлениях.
Если рисунок выполнен аккуратно, можно оценить вид угла по чертежу, но измерять его «на глаз» стоит осторожно. Чертёж может быть не в масштабе, поэтому при наличии дополнительных условий нужно опираться на них. Ответ: вид угла определяется по направленным лучам, а не просто по положению отрезков.
Даны векторы AB и CD, направленные вдоль параллельных прямых. Установите, равен ли угол между ними 0° или 180°. Параллельность означает, что направления могут быть либо одинаковыми, либо противоположными. Чтобы выбрать значение, нужно сравнить, куда указывают стрелки.
Нельзя сделать вывод только из того, что прямые параллельны: это не сообщает направление векторов. Проверьте порядок букв в обозначениях AB и CD, а также стрелки на рисунке. Ответ: при одинаковых направлениях угол равен 0°, при противоположных — 180°.
В параллелограмме ABCD требуется найти углы между AB и AD, а также AB и DC, если один из углов параллелограмма равен 65°. Уточним, что именно угол A равен 65°; если не сказано, какой угол равен 65°, возможны два варианта для угла между AB и AD. Противоположные стороны параллелограмма параллельны, но для второго угла важно также направление векторов.
Итак, при условии ∠DAB = 65° угол между AB и AD равен 65°, а между AB и DC — 0°. Если известно лишь, что какой-то угол параллелограмма равен 65°, угол при A может оказаться смежным с ним и равняться 115°. Поэтому для первого ответа нужно уточнить, какой именно угол равен 65°.
Ошибка — принять за угол между векторами любой угол, который виден на рисунке. Так происходит, если смотреть на линии, не учитывая, куда направлены стрелки. Угол задают именно лучи, направленные так же, как векторы. Проверьте, что стороны выбранного угла начинаются в общей точке и совпадают с направлениями стрелок.
Иногда векторы с разными началами пытаются сразу сравнить как стороны одного угла. Но у таких отрезков нет общей вершины, поэтому угол между сторонами непосредственно не образован. Перенесите векторы параллельно к одной точке, сохранив направление. После переноса проверьте, что стрелки не были развёрнуты.
Угол 0° путают с углом 180°, потому что в обоих случаях векторы лежат вдоль параллельных прямых. Разница в том, что при 0° стрелки указывают одинаково, а при 180° — в противоположные стороны. Сравните направления после переноса векторов к общему началу. Совпавшие лучи дают 0°, а лучи на одной прямой в разные стороны — 180°.
По внешнему виду чертежа иногда решают, что угол острый или тупой, хотя рисунок может быть выполнен не в масштабе. Это особенно легко сделать, если забыть о свойствах параллельных прямых или фигуры. Ищите точные данные в условии и используйте известные соотношения углов. Проверьте, согласуется ли выбранный ответ с этими данными.
Для работы с углом между векторами нужно знать, что такое вектор и равные векторы. Равные векторы можно переносить параллельно, не меняя их длины и направления. Это правило позволяет отложить их от общей точки и построить угол. Если забыть о переносе, направления можно сравнить неверно.
Также пригодятся виды углов и свойства параллельных прямых и параллелограмма. Они помогают находить углы по известным данным и определять, сонаправлены ли векторы. Например, равные противоположные стороны параллелограмма задают сонаправленные векторы. При этом важно следить за порядком букв в обозначениях.
Понятие угла между векторами используется дальше при изучении перпендикулярности и скалярного произведения. Прямой угол означает, что векторы перпендикулярны. В скалярном произведении величина угла помогает описывать, как направления векторов связаны друг с другом. Поэтому важно сначала уверенно определять сам угол.
Почему векторы для определения угла нужно отложить от одной точки?
Тогда векторы задают два луча с общей вершиной, а угол между ними можно измерить обычным способом. Если начала не совпадают, угол между сторонами с общей вершиной непосредственно не образуется.
Меняется ли угол между векторами, если перенести их параллельно?
Нет, угол не меняется. При параллельном переносе сохраняются длина и направление вектора, поэтому лучи после переноса образуют тот же угол.
Может ли угол между векторами быть больше 180°?
Нет. Угол между ненулевыми векторами выбирают от 0° до 180° включительно. Угол больше 180° не является углом между векторами в принятом здесь смысле.
Как отличить сонаправленные векторы от противоположно направленных?
Сонаправленные векторы лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону; угол между ними равен 0°. Противоположно направленные лежат на параллельных прямых, но указывают в разные стороны; их угол равен 180°.
Рассматривают ли угол между нулевым вектором и ненулевым?
Нет. У нулевого вектора начало совпадает с концом, поэтому у него нет определённого направления. Без направления нельзя построить угол между ним и другим вектором.
101. Угол между векторами
