§ 16. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Его обозначают a⃗ · b⃗, а вычисляют по формуле a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ, где φ — угол между векторами. В отличие от сложения векторов результат здесь не имеет направления. Это позволяет применять к нему обычные действия с числами и использовать его для решения геометрических задач.

Угол между ненулевыми векторами — угол от 0° до 180°, который образуется, когда начала векторов совмещены. Векторы при этом можно параллельно перенести, не меняя их длины и направления. Такое определение позволяет сравнивать направления даже у векторов, расположенных в разных местах чертежа. Угол нужен, чтобы связать взаимное расположение векторов с численным значением их произведения.

Перпендикулярные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Запись a⃗ ⟂ b⃗ читают: «вектор a⃗ перпендикулярен вектору b⃗». Она кратко обозначает прямой угол между направлениями векторов. Это свойство особенно удобно проверять вычислением, не строя чертёж.

Как это устроено

Чтобы вычислить произведение через длины и угол, сначала находим длины векторов, затем косинус угла между ними и перемножаем три числа: a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ. Длины — неотрицательные числа, а косинус тоже является числом, поэтому всё произведение числовое. Направление у результата не появляется: в формуле нет ни направления, ни координат нового вектора. Именно поэтому произведение называют скалярным.

Знак произведения зависит от косинуса угла, потому что длины ненулевых векторов положительны и на знак не влияют. Для острого угла косинус положителен, значит, произведение положительно; для 90° косинус равен нулю. У тупого угла косинус отрицателен, поэтому отрицательно и произведение. Так знак помогает определить вид угла, даже если его величина неизвестна.

Если умножить вектор на себя, угол между двумя его копиями равен 0°, а cos 0° = 1. Подстановка в формулу даёт a⃗ · a⃗ = |a⃗||a⃗| · 1 = |a⃗|². Квадрат длины неотрицателен и равен нулю только у нулевого вектора. Поэтому такая запись связывает произведение с уже знакомой длиной.

Пусть векторы на плоскости заданы координатами a⃗ = (x₁; y₁), b⃗ = (x₂; y₂). В координатной записи каждый вектор раскладывается по двум взаимно перпендикулярным направлениям осей: горизонтальному и вертикальному. Слагаемые, относящиеся к разным осям, не дают вклада в скалярное произведение, потому что направления осей перпендикулярны. Для каждой оси перемножаются соответствующие координаты, поэтому получается формула a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂.

Для ненулевых векторов перпендикулярность означает, что угол между ними равен 90°. Косинус такого угла равен нулю, поэтому из геометрической формулы следует a⃗ · b⃗ = 0. Верно и обратное: если произведение равно нулю, а обе длины положительны, то нулём должен быть cos φ; значит, φ = 90°. Так получаем признак a⃗ ⟂ b⃗ тогда и только тогда, когда a⃗ · b⃗ = 0.

Скалярное произведение: формулы и их применение

Выберите строку по тому, какие данные есть в условии: длины и угол или координаты. Для проверки угла сначала вычислите произведение, а затем посмотрите на его знак. Признак перпендикулярности применяйте только к ненулевым векторам.

Разбор задач

Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов длиной 4 и 5, если угол между ними равен 60°. Здесь известны все данные для геометрической формулы: обе длины и угол. Поэтому сначала запишем формулу, а затем подставим значения. Косинус 60° равен ½.

1. Используем формулу a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ.
2. Подставляем значения: a⃗ · b⃗ = 4 · 5 · cos 60°.
3. Вычисляем: 4 · 5 · ½ = 10.

Ответ: 10. Положительное значение согласуется с тем, что угол 60° острый.

Задача 2. Даны векторы a⃗ = (2; −3) и b⃗ = (−1; 4). Найдите их скалярное произведение и определите, острый или тупой угол они образуют. Угол заранее не задан, поэтому использовать формулу через косинус неудобно. Вычислим произведение по координатам, а вид угла определим по полученному знаку.

1. Записываем координатную формулу: a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Подставляем координаты: 2 · (−1) + (−3) · 4.
3. Считаем: −2 − 12 = −14.
4. Произведение отрицательное, следовательно, угол тупой.

Ответ: −14; векторы образуют тупой угол. Здесь знак результата сразу даёт нужный вывод, потому что длины обоих векторов ненулевые.

Задача 3. Найдите k, при котором векторы (k; 2) и (3; −6) перпендикулярны. Для прямого угла скалярное произведение должно быть равно нулю. Переменная k входит в координаты первого вектора, поэтому получится простое уравнение. После его решения полезно проверить, что найденные векторы ненулевые.

1. Составляем произведение по координатам: k · 3 + 2 · (−6).
2. Приравниваем его к нулю: 3k − 12 = 0.
3. Решаем уравнение: 3k = 12, поэтому k = 4.
4. При k = 4 первый вектор равен (4; 2), оба вектора ненулевые, и условие признака выполнено.

Ответ: k = 4. Подстановка даёт 4 · 3 + 2 · (−6) = 0, значит, векторы перпендикулярны.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать скалярное произведение вектором. Её допускают, потому что в названии есть слово «векторов», но произведение по определению является числом. Проверяйте, что в ответе нет направления и координат нового вектора. Например, результат координатного вычисления x₁x₂ + y₁y₂ — одно число.

Вторая ошибка — перепутать координаты: умножать их крест-накрест или складывать без умножения. Обычно это происходит при поспешной подстановке в формулу. Сверяйте пары: первая координата с первой, вторая со второй, затем складывайте произведения. При записи (x₁; y₁) и (x₂; y₂) должно получиться именно x₁x₂ + y₁y₂.

Третья ошибка — применять формулу через угол, не проверив, что векторы ненулевые. Угол между нулевым вектором и другим вектором не определяется, поэтому нельзя подставить его в геометрическую формулу. До вычисления убедитесь, что обе длины положительны. Если вектор нулевой, используйте координаты и учитывайте, что произведение будет равно нулю.

Четвёртая ошибка — заключать, что нулевое произведение всегда доказывает перпендикулярность. Такое рассуждение неверно, если один из векторов нулевой: его произведение с любым вектором равно нулю. Прежде чем применить признак, проверьте ненулевость обоих векторов. Если оба ненулевые, нулевое произведение действительно означает прямой угол.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужно уметь находить координаты и длину вектора, понимать определение угла между векторами и знать косинусы основных углов. Эти понятия дают исходные данные для геометрической формулы и помогают объяснить знак результата. Скалярное произведение, в свою очередь, позволяет проверять перпендикулярность без построения чертежа. Оно также помогает вычислять углы между векторами и решать координатные задачи по геометрии.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ.
• a⃗ · a⃗ = |a⃗|².
• В координатах (x₁; y₁) и (x₂; y₂) скалярное произведение равно x₁x₂ + y₁y₂.
• Для ненулевых векторов скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
• Знак скалярного произведения показывает, острый, прямой или тупой угол образуют ненулевые векторы.