"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Скалярное произведение связывает длины двух векторов и угол между ними, а результатом даёт число. Оно помогает выяснить, направлены ли векторы примерно в одну сторону или под прямым углом, вычислить угол между ними и проверить перпендикулярность. Произведение можно находить по определению или по координатам. Главное — учитывать порядок координат и помнить: для ненулевых векторов нулевое скалярное произведение означает, что они перпендикулярны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a · b = |a||b| cos φ. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а φ — угол между ними. Формула нужна, чтобы связать взаимное направление векторов с числом, которое можно вычислить или использовать в дальнейших задачах.
Угол между ненулевыми векторами — угол от 0° до 180°, образованный равными этим векторам векторами с общим началом. Чтобы его увидеть, достаточно перенести векторы параллельно самим себе так, чтобы их начала совпали. Такое определение позволяет однозначно говорить об угле, независимо от того, где векторы были расположены первоначально.
Скалярный квадрат вектора — скалярное произведение вектора на себя: a · a. Его обозначают a², и по определению a² = |a||a| cos 0° = |a|². Поэтому скалярный квадрат помогает найти квадрат длины вектора, а длину — извлечением квадратного корня.
Координатная формула скалярного произведения — правило вычисления произведения по координатам векторов. Если a = (aₓ; aᵧ; a_z), а b = (bₓ; bᵧ; b_z), то a · b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_zb_z. Формула особенно удобна, когда координаты уже известны, а угол между векторами искать отдельно не требуется.
В определении участвует косинус, потому что он отражает взаимное направление векторов. Если угол острый, векторы имеют общее направление хотя бы частично, косинус положителен, и произведение тоже положительно. При прямом угле направления взаимно перпендикулярны и косинус равен нулю, а при тупом косинус отрицателен. Длины задают масштаб результата, а косинус — его знак и зависимость от направления.
Скалярное произведение переместительно: a · b = b · a. Это следует из определения: длины можно перемножить в любом порядке, а угол между векторами при перестановке не меняется. Произведение распределяется относительно сложения: (a + b) · c = a · c + b · c, потому что при разложении суммы по составляющим учитывается вклад каждого вектора. Числовой множитель можно вынести: (ka) · b = k(a · b), поскольку длина и направление вектора при умножении на число меняются согласованно со знаком числа.
Координатную формулу можно получить, разложив векторы по осям: a = aₓi + aᵧj + a_zk, b = bₓi + bᵧj + b_zk. Единичные векторы i, j, k направлены вдоль координатных осей; их скалярный квадрат равен 1, а произведение любых двух разных из них равно 0, поскольку оси перпендикулярны. Раскроем произведение сумм по распределительному свойству: слагаемые с разными осями исчезнут, а останутся aₓbₓ, aᵧbᵧ и a_zb_z. Поэтому произведения координат складывают только для одинаковых осей.
Чтобы найти длину по координатам, вычисляют a · a: получается aₓ² + aᵧ² + a_z² = |a|², откуда |a| = √(aₓ² + aᵧ² + a_z²). Для ненулевых векторов определение можно преобразовать: cos φ = (a · b)/(|a||b|), а затем определить угол по его косинусу. Перпендикулярность проверяют ещё проще: при φ = 90° косинус равен нулю, значит, a · b = 0; наоборот, для ненулевых векторов нулевое произведение означает прямой угол.
| Свойство или задача | Формула | Что позволяет сделать |
|---|---|---|
| Переместительность | a · b = b · a | Менять векторы местами без изменения результата |
| Распределительность относительно сложения | (a + b) · c = a · c + b · c | Раскрывать произведение суммы на вектор |
| Умножение вектора на число | (ka) · b = k(a · b) | Выносить числовой множитель |
| Скалярный квадрат и длина вектора | a · a = a² = |a|² | Вычислять квадрат длины и саму длину |
| Координатная формула | a · b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_zb_z | Находить произведение по координатам |
| Условие перпендикулярности ненулевых векторов | a · b = 0 | Проверять, образуют ли векторы прямой угол |
Сначала выберите строку, которая соответствует известным данным: координатам, длинам и углу или условию задачи. Если требуется угол, после вычисления произведения найдите длины и используйте формулу для cos φ. Проверяя перпендикулярность, не забудьте, что оба вектора должны быть ненулевыми.
Задача 1. Длины векторов a и b равны 4 и 5, угол между ними равен 60°. Найдите a · b. Известны именно те величины, которые стоят в определении, поэтому координаты искать не нужно.
Ответ: a · b = 10. Положительный результат согласуется с тем, что угол острый.
Задача 2. Даны векторы a = (1; −2; 3) и b = (4; 0; −1). Найдите a · b и косинус угла между ними. Сначала найдём произведение по координатной формуле, затем отдельно вычислим длины, необходимые для косинуса.
Ответ: a · b = 1, cos φ = 1/√238. Косинус положителен, значит, угол между векторами острый.
Задача 3. При каком значении параметра m векторы a = (m; 2; −1) и b = (3; −1; 4) перпендикулярны? Для ненулевых векторов перпендикулярность равносильна нулевому скалярному произведению, поэтому составим уравнение по координатам.
Ответ: m = 2.
Скалярное произведение иногда принимают за вектор, потому что в записи участвуют векторы и знак умножения. Но результат по определению — число, например 10 или 0; у него нет направления и координат. Проверяйте, что в конце вычисления получено числовое значение, а не новый вектор.
В определение можно подставить только угол между векторами с общим началом. Если измерить угол между другими лучами или взять дополнительный угол, косинус может иметь другой знак, и ответ окажется неверным. Перенесите векторы параллельно так, чтобы начала совпали, и берите угол от 0° до 180°.
При вычислении по координатам ошибаются, перемножая координаты разных осей или пропуская z. Например, координату x одного вектора нужно умножать на координату x другого, а не на y. Выпишите пары по порядку: x с x, y с y, z с z; затем сложите все три произведения.
Нулевое скалярное произведение само по себе не всегда доказывает перпендикулярность. Если один из векторов нулевой, произведение будет нулевым при любом втором векторе, но угол между ними не определён. Перед применением условия проверьте, что оба вектора ненулевые.
Для изучения скалярного произведения понадобятся понятия вектора, его длины и координат в пространстве, а также косинус угла и основные действия с векторами. Они позволяют понять определение и выполнять вычисления двумя способами. Освоенная тема, в свою очередь, помогает находить длины и углы, проверять перпендикулярность и решать задачи на координаты векторов. Поэтому скалярное произведение связывает геометрические свойства фигур с алгебраическими вычислениями.
Почему скалярное произведение называется скалярным?
Потому что результатом операции является скаляр, то есть число, а не вектор. Это число зависит от длин векторов и угла между ними.
Как определить знак скалярного произведения по углу между векторами?
При остром угле косинус положителен, поэтому скалярное произведение положительно. При прямом угле оно равно нулю, а при тупом — отрицательно.
Как найти скалярное произведение, если известны координаты векторов?
Перемножьте координаты векторов, стоящие на одинаковых местах, и сложите результаты. В пространстве формула имеет вид a · b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_zb_z.
Как по скалярному произведению найти угол между векторами?
Разделите скалярное произведение на произведение длин векторов: cos φ = (a · b) / (|a||b|). Затем найдите угол, косинус которого получен; оба вектора должны быть ненулевыми.
Можно ли считать нулевой вектор перпендикулярным любому вектору?
Нулевое скалярное произведение с любым вектором действительно получается, если один из векторов нулевой. Но угол между нулевым вектором и другим вектором не определён, поэтому обычное условие перпендикулярности формулируют для ненулевых векторов.
§ 2. Скалярное произведение векторов
