§ 8. Декартовы координаты на плоскости

Определения и обозначения

Декартова система координат — две взаимно перпендикулярные координатные прямые с общим началом и одинаковым единичным отрезком. Перпендикулярность означает, что прямые пересекаются под прямым углом. Такая система задаёт два направления, по которым можно определить положение точки на плоскости.

Ось абсцисс — горизонтальная координатная ось, а ось ординат — вертикальная. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается O. Оси нужны, чтобы отдельно измерять положение точки по горизонтали и по вертикали.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел, указывающая её положение на плоскости. Первое число называют абсциссой и обозначают x, второе — ординатой и обозначают y: запись точки имеет вид (x; y). Порядок нужен, чтобы однозначно понять, какое число относится к каждой оси.

Координатная плоскость — плоскость с выбранной декартовой системой координат, на которой каждой точке соответствует пара координат. По этой паре точку можно отметить, а по отмеченной точке — определить числа. Это превращает расположение на плоскости в удобную числовую запись.

Как это устроено

Возьмём две числовые прямые и расположим их так, чтобы они пересекались под прямым углом. Точку пересечения назначим общим началом, а на обеих прямых выберем одинаковую единицу измерения. Так положение можно задавать независимо в двух направлениях: одно число отвечает за горизонтальное смещение, другое — за вертикальное.

Чтобы найти координаты уже отмеченной точки, через неё мысленно проводят прямые, параллельные осям, до пересечения с каждой осью. Точка, где параллель к оси y встречает ось x, показывает абсциссу; пересечение параллели к оси x с осью y показывает ординату. Параллельные линии сохраняют направление измерения, поэтому каждое полученное число относится к своей оси.

Числа записывают в порядке x, затем y, потому что у каждой оси своя роль. При построении сначала от начала координат перемещаются на указанное значение по оси x, а затем — по оси y. Например, для точки (−2; 3) нужно уйти на две единицы влево, а потом на три вверх; смена порядка дала бы уже другую точку.

Знак координаты показывает направление от начала: по оси x положительное направление идёт вправо, по оси y — вверх. Поэтому знаки x и y вместе указывают, в какой из четырёх областей между осями находится точка. Если одна координата равна нулю, точка лежит прямо на соответствующей оси и к четвертям не относится.

Для расстояния между двумя точками сравнивают отдельно их абсциссы и ординаты. Модули разностей этих координат дают горизонтальную и вертикальную стороны прямоугольного треугольника, а отрезок между точками является его гипотенузой. Поэтому по теореме Пифагора расстояние равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²): квадраты позволяют учесть длины катетов независимо от направления разностей.

Расположение точки и знаки её координат

Сначала определи знаки обеих координат, а затем сопоставь их с первыми четырьмя строками. Если одна координата равна нулю, используй строки про оси: такая точка не принадлежит четверти. В начале координат обе координаты нулевые.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку A(3; −2) и определить, в какой четверти она расположена. Первое число задаёт движение по горизонтальной оси, а второе — по вертикальной. По знакам можно заранее ожидать, что точка окажется справа и ниже начала координат.

1. От начала координат отложим по оси x три единицы вправо.
2. Из полученной точки мысленно проведём вертикальную прямую и отложим по ней две единицы вниз, поскольку ордината отрицательная.
3. Отметим полученное место буквой A; знаки координат (+; −) соответствуют IV четверти.

Ответ: точка A находится в IV четверти.

Задача 2. Найти координаты точки, если от начала координат сначала откладывают 4 единицы вправо, а затем 3 единицы вверх. Направление вправо совпадает с положительным направлением оси x, а вверх — с положительным направлением оси y. Поэтому оба значения координат будут положительными.

1. За движение вправо запишем абсциссу x = 4.
2. За движение вверх запишем ординату y = 3.
3. Поставим числа в установленном порядке: сначала абсцисса, затем ордината.

Ответ: координаты точки — (4; 3).

Задача 3. Найти расстояние между точками A(−1; 2) и B(3; 5). Горизонтальное смещение определяется разностью абсцисс, а вертикальное — разностью ординат. Эти смещения являются катетами прямоугольного треугольника, а искомый отрезок AB — его гипотенузой.

1. Найдём разность абсцисс: 3 − (−1) = 4, значит, горизонтальное расстояние равно 4.
2. Найдём разность ординат: 5 − 2 = 3, значит, вертикальное расстояние равно 3.
3. Применим теорему Пифагора: AB = √(4² + 3²) = √25 = 5.

Ответ: расстояние между точками равно 5 единицам.

Типичные ошибки

Координаты иногда переставляют местами и записывают сначала ординату. Это происходит, если забыть, что пара читается в порядке «абсцисса; ордината». Проверь себя: первое число должно соответствовать горизонтальному движению, второе — вертикальному.

Отрицательное значение могут отложить вправо или вверх, как положительное. Обычно так бывает, когда учитывают только число, но не знак перед ним. Перед построением проверь направление: минус по x означает влево, а минус по y — вниз.

Расстояние до оси принимают за координату точки без учёта знака. Но координаты — это направленные числа, поэтому одинаковое расстояние по разные стороны от начала может иметь разные знаки. Проведи мысленно параллель к соответствующей оси и выясни, с какой стороны от нуля лежит её пересечение.

При вычислении расстояния разности координат могут сложить или забыть возвести их в квадрат. Ошибка возникает, если применять теорему Пифагора не к катетам прямоугольного треугольника. Запиши сначала квадрат каждой разности, сложи эти квадраты и только затем извлеки квадратный корень.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны навыки чтения координатной прямой: понимание нуля, положительного и отрицательного направлений, а также числовых координат. При поиске расстояния между точками применяется теорема Пифагора, изученная для прямоугольного треугольника. Она связывает два смещения по осям с длиной отрезка между точками.

Координаты позволяют переходить от рисунка к числам и обратно, поэтому они пригодятся при изучении графиков. Они также используются в задачах о геометрических преобразованиях и в аналитических способах решения: свойства фигур можно исследовать с помощью координат и вычислений. Так геометрические рассуждения получают числовую форму.

Что запомнить

• Абсцисса записывается первой, ордината — второй.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• На оси абсцисс ордината точки равна нулю.
• На оси ординат абсцисса точки равна нулю.
• Знаки координат определяют четверть, в которой находится точка.
• Расстояние между точками можно найти по теореме Пифагора.