70. Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла

Определения и обозначения

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; его обозначают sin α. Противолежащим называют катет напротив выбранного угла, а гипотенуза — сторона напротив прямого угла. Синус показывает, какую часть гипотенузы составляет противолежащий катет, и помогает связать угол со сторонами треугольника.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; обозначение — cos α. Прилежащий катет касается рассматриваемого угла и не является гипотенузой. Косинус показывает, какую часть гипотенузы составляет этот катет, поэтому с его помощью тоже можно сравнивать углы и стороны.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему; его обозначают tg α. Это же отношение можно записать через синус и косинус: tg α = sin α / cos α. Тангенс позволяет сравнивать два катета, не учитывая длину гипотенузы.

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему; обозначение — ctg α. Через синус и косинус его записывают так: ctg α = cos α / sin α. Котангенс нужен, когда отношение катетов рассматривают в обратном порядке по сравнению с тангенсом.

Как это устроено

Чтобы сравнить острые углы, удобно представить прямоугольные треугольники с одинаковой гипотенузой. Тогда различие в отношениях сторон не связано с тем, что один треугольник просто больше другого. Если угол увеличивается, направление катетов относительно него меняется: противолежащий катет становится длиннее, а прилежащий — короче. Поэтому отношения этих катетов к общей гипотенузе меняются вместе с углом.

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. При увеличении угла числитель этого отношения растёт, а знаменатель остаётся одинаковым, если гипотенузы выбраны равными. Значит, отношение становится больше, и синус возрастает. У косинуса в числителе стоит прилежащий катет: он при увеличении угла уменьшается, поэтому косинус убывает.

Для тангенса можно использовать формулу tg α = sin α / cos α. При увеличении острого угла синус в числителе растёт, а положительный косинус в знаменателе уменьшается. Чем больше числитель и чем меньше знаменатель положительной дроби, тем больше её значение. Поэтому тангенс возрастает.

Котангенс задаётся обратным отношением: ctg α = cos α / sin α. При увеличении угла косинус, стоящий в числителе, уменьшается, а синус в знаменателе растёт. Числитель становится меньше, знаменатель — больше, поэтому значение дроби уменьшается. Так объясняется убывание котангенса.

На границах промежутка острых углов рассматривают не значения при 0° и 90°, а поведение при приближении к ним. При приближении к 0° синус и тангенс стремятся к 0, косинус — к 1, а котангенс неограниченно возрастает. При приближении к 90° синус стремится к 1, косинус и котангенс — к 0, а тангенс неограниченно возрастает. Тангенс при 90° и котангенс при 0° не определены.

Изменение тригонометрических функций при возрастании острого угла

Чтобы пользоваться таблицей, сначала сравните углы, а затем посмотрите, возрастает или убывает нужная функция. Для возрастающей функции большему углу соответствует большее значение, для убывающей — меньшее. Строка о границах описывает поведение при приближении к концам промежутка острых углов.

Разбор задач

Сравнить sin 25° и sin 70°, cos 25° и cos 70°, не вычисляя значения

Условие: нужно сравнить значения синуса и косинуса двух острых углов без таблиц и вычислений. Сначала упорядочим сами углы: 25° < 70°. Затем применим правило изменения отдельно к каждой функции.

1. Синус возрастает при увеличении острого угла, поэтому большему углу 70° соответствует больший синус: sin 25° < sin 70°.
2. Косинус убывает при увеличении острого угла, поэтому большему углу соответствует меньший косинус: cos 25° > cos 70°.

Ответ: sin 25° < sin 70°; cos 25° > cos 70°. Направления не совпали, потому что синус возрастает, а косинус убывает.

Расположить по возрастанию значения tg 20°, tg 45°, tg 80° и ctg 20°, ctg 45°, ctg 80°

Условие: требуется упорядочить отдельно три значения тангенса и три значения котангенса. Углы уже расположены по возрастанию: 20° < 45° < 80°. Для каждого набора важно применить правило именно его функции.

1. Тангенс возрастает, значит значения располагаются в том же порядке, что и углы: tg 20° < tg 45° < tg 80°.
2. Котангенс убывает, поэтому при переходе к большему углу значение становится меньше: ctg 80° < ctg 45° < ctg 20°.

Ответ: для тангенса порядок от меньшего к большему — tg 20°, tg 45°, tg 80°; для котангенса — ctg 80°, ctg 45°, ctg 20°. Проверка: для возрастающей функции порядок сохраняется, для убывающей — обращается.

Известно, что α и β — острые углы и sin α > sin β. Сравнить α и β, а затем cos α и cos β

Условие сообщает, что синус угла α больше синуса угла β. Синус возрастает на промежутке острых углов, поэтому большему значению синуса соответствует больший угол. Найдя порядок углов, используем убывание косинуса.

1. Из sin α > sin β следует, что α > β: при обратном порядке углов синус тоже располагался бы в обратном порядке.
2. Косинус убывает, поэтому большему углу α соответствует меньший косинус: cos α < cos β.

Ответ: α > β и cos α < cos β. Важно сравнивать значения одной и той же функции по её направлению изменения, а после этого отдельно применять свойство другой функции.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что косинус растёт вместе с углом. Так бывает, если перепутать косинус с синусом дополнительного угла: sin α = cos (90° − α), но при увеличении α сам cos α убывает. Проверка: возьмите два острых угла в указанном порядке и примените правило именно для косинуса.

Ошибка: заключать, что тангенс убывает, потому что косинус в дроби tg α = sin α / cos α уменьшается. При этом забывают, что синус растёт, а уменьшение положительного знаменателя дополнительно увеличивает дробь. Проверка: проследите, что происходит одновременно с числителем и знаменателем.

Ошибка: переносить направление изменения тангенса на котангенс, не меняя порядок отношения. Котангенс равен cos α / sin α, поэтому его числитель убывает, а знаменатель растёт — он убывает. Проверка: запишите формулу ctg α, прежде чем сравнивать значения.

Ошибка: сравнивать значения по названию функции или только по величине угла, не выяснив, возрастает ли функция. Для одного и того же порядка углов синусы и косинусы сравниваются в противоположных направлениях. Проверка: сначала запишите порядок углов, затем укажите правило для нужной функции и лишь после этого поставьте знак сравнения.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла, уметь находить отношения сторон прямоугольного треугольника и сравнивать углы. Новые свойства помогают сравнивать тригонометрические выражения без вычислений и решать задачи о прямоугольных треугольниках. Позднее направление изменения функций пригодится при изучении их графиков и решении неравенств.

Что запомнить

• При возрастании острого угла синус возрастает.
• При возрастании острого угла косинус убывает.
• При возрастании острого угла тангенс возрастает.
• При возрастании острого угла котангенс убывает.
• Тангенс равен отношению синуса к косинусу.
• Котангенс равен отношению косинуса к синусу.
• Направление изменения функции позволяет сравнивать её значения без вычисления.