69. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Определения и обозначения

Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе; обозначают sin. Противолежащим называют катет напротив выбранного угла, а гипотенуза — сторона напротив прямого угла. Синус позволяет сравнить длину катета с самой длинной стороной треугольника.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; обозначают cos. Прилежащий катет образует выбранный угол вместе с гипотенузой. Косинус нужен, чтобы выразить, какую часть гипотенузы составляет этот катет.

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему; обозначают tg. В этом отношении сравниваются два катета, без гипотенузы. Тангенс помогает связать их длины, когда известен угол.

Котангенс острого угла — отношение прилежащего катета к противолежащему; обозначают ctg. Это отношение катетов, взятое в обратном порядке по сравнению с тангенсом. По котангенсу также можно сравнивать длины катетов и находить неизвестную сторону.

Как это устроено

Четыре функции задаются отношениями сторон, а не их конкретными длинами. Если увеличить все стороны прямоугольного треугольника в одно и то же число раз, каждое отношение останется прежним. Значит, значение функции определяется величиной угла, а не размером треугольника. Чтобы составить отношение правильно, сначала выбери угол и обозначь относительно него катеты.

Для угла 45° удобно взять равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны, поэтому катеты, лежащие напротив них, тоже равны; обозначим каждый катет за 1. По теореме Пифагора гипотенуза равна √2, так как 1² + 1² = 2. Значит, sin 45° и cos 45° равны 1/√2 = √2/2, а отношения катетов дают tg 45° = ctg 45° = 1.

Чтобы получить углы 30° и 60°, раздели равносторонний треугольник высотой на две равные части. Высота перпендикулярна основанию и делит его пополам, поэтому каждая часть — прямоугольный треугольник с углами 30° и 60°. Если сторона исходного треугольника равна 2, гипотенуза половины равна 2, короткий катет — 1, а второй катет по теореме Пифагора равен √3. Подстановка этих сторон в определения даёт значения для обоих углов.

Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме составляют 90°. Катет, который лежит напротив первого угла, прилегает ко второму, а гипотенуза для обоих одна и та же. Поэтому sin одного острого угла равен cos другого. По той же причине tg одного угла равен ctg другого: в их отношениях участвуют те же катеты, но в обратном порядке.

Тангенс можно найти, разделив синус угла на его косинус: общая гипотенуза сокращается, и остаётся отношение противолежащего катета к прилежащему. Если разделить косинус на синус, получится котангенс. Например, tg 30° = (½)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3, а ctg 30° = (√3/2)/(½) = √3. При делении дробей помни: деление на дробь заменяется умножением на обратную.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Найди строку с нужным углом, а затем выбери столбец с требуемой функцией. Для углов 30° и 60° значения синуса и косинуса меняются местами, как и значения тангенса и котангенса. Таблица особенно полезна, когда в задаче требуется быстро выразить сторону через другую.

Разбор задач

1. Равнобедренный прямоугольный треугольник

Условие: в равнобедренном прямоугольном треугольнике найти синус и косинус каждого острого угла. Равные острые углы вместе дают 90°, поэтому каждый равен 45°. Обозначим катеты через a: по теореме Пифагора гипотенуза равна a√2. Отношения для любого из острых углов будут одинаковыми.

1. Противолежащий и прилежащий катеты имеют длину a, а гипотенуза — a√2.
2. sin 45° = a/(a√2) = 1/√2 = √2/2.
3. cos 45° = a/(a√2) = √2/2; множитель a сократился, поэтому результат не зависит от размера треугольника.

Ответ: синус и косинус каждого острого угла равны √2/2.

2. Половина равностороннего треугольника

Условие: равносторонний треугольник со стороной 2 разделён высотой пополам; найти sin 30°, cos 30°, tg 30° и ctg 30°. После деления получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и коротким катетом 1. Второй катет равен √3 по теореме Пифагора. Для угла 30° катет 1 лежит напротив, а катет √3 прилежит.

1. sin 30° = 1/2.
2. cos 30° = √3/2.
3. tg 30° = 1/√3 = √3/3, а ctg 30° = √3/1 = √3.

Ответ: sin 30° = ½, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3. Каждый результат получен делением соответствующих сторон на нужную сторону, как предписывают определения.

3. Стороны по известному углу

Условие: острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, гипотенуза равна 10; найти катеты и выразить их отношения через значения функций углов 30° и 60°. Сначала важно определить катет напротив угла 60°, а затем — прилежащий к нему. Оба можно найти непосредственно через синус и косинус. Второй острый угол равен 30°, поэтому те же стороны можно описать функциями дополнительного угла.

1. Катет напротив 60° равен 10 · sin 60° = 10 · √3/2 = 5√3.
2. Катет, прилежащий к 60°, равен 10 · cos 60° = 10 · ½ = 5.
3. Для угла 30° первый катет прилежит, поэтому его длина равна 10 · cos 30° = 5√3; второй лежит напротив, и его длина равна 10 · sin 30° = 5.

Ответ: катеты равны 5√3 и 5. Это согласуется с sin 60° = cos 30° и cos 60° = sin 30°: смена угла меняет роль катета, но не его длину.

Типичные ошибки

Путать прилежащий катет с противолежащим — значит определять их не относительно того угла. Это случается, если ученик смотрит только на положение сторон на рисунке, а не выбирает угол. Проверь себя: прилежащий катет вместе с гипотенузой образует выбранный острый угол, а противолежащий находится напротив него.

Тангенс и котангенс легко поменять местами, потому что в обоих случаях сравниваются катеты. Но tg — это противолежащий катет, делённый на прилежащий, а ctg — наоборот. Запиши стороны над и под чертой до вычислений и сверь порядок с определением. Для одного угла произведение tg и ctg равно 1.

Не следует считать sin 30° и cos 30° равными: значения этих функций равны ½ и √3/2. Ошибка возникает, если запомнить равенство функций для 45° и перенести его на другой угол. Проверка простая: синус 30° равен косинусу 60°, а не косинусу 30°; их значения различаются.

Ошибки с корнями появляются, когда перепутано отношение катета и гипотенузы. Например, в треугольнике 45°–45°–90° гипотенуза равна катету, умноженному на √2, поэтому sin 45° = 1/√2 = √2/2. Для углов 30° и 60° короткий катет составляет половину гипотенузы, а длинный — √3/2 гипотенузы. Подставляй стороны в определение и проверяй, что гипотенуза самая длинная.

Связь с другими темами

Чтобы вывести значения функций, нужны свойства прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, а также знания о равнобедренном и равностороннем треугольниках. Теорема Пифагора помогает найти недостающую сторону, а свойства треугольников — установить равенство углов и катетов. Табличные значения затем используют в задачах на прямоугольные треугольники: по углу и стороне находят другую сторону, а по отношениям сторон — угол.

Что запомнить

• sin острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• cos острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• tg острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• ctg острого угла — отношение прилежащего катета к противолежащему.
• sin 30° = cos 60°, а cos 30° = sin 60°.
• Для угла 45° синус и косинус равны.