"Геометрия", Погорелов А.В.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного угла: sin²α + cos²α = 1. Из него получают формулы для тангенса и котангенса и находят неизвестную величину, если известна другая. Эти равенства помогают упрощать выражения и решать задачи, но при делении нужно проверять, что знаменатель не равен нулю. А извлекая корень, учитывают знак синуса или косинуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin²α + cos²α = 1, которое верно для любого угла α. Запись sin²α означает квадрат синуса: (sin α)². Тождество связывает две величины, поэтому по известному синусу можно найти квадрат косинуса, и наоборот.
Тангенс угла — отношение синуса угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Делить на ноль нельзя, поэтому тангенс определён только при cos α ≠ 0. Эта запись позволяет находить тангенс, когда известны синус и косинус.
Котангенс угла — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α. Он определён только при sin α ≠ 0, потому что синус здесь стоит в знаменателе. Формула помогает выразить котангенс через две основные величины — синус и косинус.
Из основного тождества получают ещё два равенства: 1 + tg²α = 1 / cos²α и 1 + ctg²α = 1 / sin²α. Первое применимо, если cos α ≠ 0, а второе — если sin α ≠ 0. Эти следствия связывают тангенс или котангенс с косинусом или синусом и упрощают вычисления.
Чтобы получить основное тождество, возьмём прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и острым углом α. По определениям синус и косинус этого угла равны отношению соответствующего катета к гипотенузе, значит, длины катетов равны sin α и cos α. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: sin²α + cos²α = 1² = 1. Поэтому квадраты синуса и косинуса в сумме дают единицу.
Разделим обе части равенства sin²α + cos²α = 1 на cos²α. Получим sin²α / cos²α + 1 = 1 / cos²α, а первая дробь равна tg²α, потому что tg α = sin α / cos α. Так возникает формула 1 + tg²α = 1 / cos²α. Деление допустимо только при cos α ≠ 0: иначе знаменатель равен нулю и тангенс не определён.
Для котангенса выполняем похожее действие, но делим основное тождество на sin²α. Тогда sin²α / sin²α + cos²α / sin²α = 1 / sin²α; первое слагаемое равно 1, а второе — ctg²α. В результате получаем 1 + ctg²α = 1 / sin²α. Здесь обязательно условие sin α ≠ 0, поскольку мы делим на квадрат синуса.
Если известна одна величина, тождество позволяет найти квадрат другой: например, cos²α = 1 − sin²α. После подстановки известного синуса извлекаем квадратный корень, но уравнение x² = a в общем случае имеет два решения: x = √a и x = −√a. Поэтому знак выбирают по условию об угле: для острого угла и синус, и косинус положительны, а для угла из другой области знак может быть отрицательным. Одного значения квадрата недостаточно, чтобы определить знак.
Тождества используют и для преобразования выражений. Если встречается сумма sin²α + cos²α, её можно заменить единицей; если есть разность 1 − sin²α, её можно заменить на cos²α. Формулы тангенса и котангенса позволяют переходить от дроби синуса и косинуса к одной величине, а следствия основного тождества связывают её с квадратом другой. При любом таком переходе сначала проверяют, не делят ли на выражение, которое может быть равно нулю.
| Тождество | Условие | Что позволяет выразить |
|---|---|---|
| sin²α + cos²α = 1 | Для любого α | sin²α через cos²α или cos²α через sin²α |
| tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 | Тангенс через синус и косинус |
| ctg α = cos α / sin α | sin α ≠ 0 | Котангенс через косинус и синус |
| 1 + tg²α = 1 / cos²α | cos α ≠ 0 | Связь тангенса и косинуса |
| 1 + ctg²α = 1 / sin²α | sin α ≠ 0 | Связь котангенса и синуса |
Сначала найдите в таблице формулу, в которой есть нужные величины, затем проверьте её условие. Условия особенно важны, если в записи есть дробь: её знаменатель не должен быть равен нулю. Если требуется найти синус или косинус, помните, что формула для квадрата сама по себе не задаёт знак.
Условие. В прямоугольном треугольнике sin α = 3/5. Найдите cos α, если α — острый угол. Используем основное тождество, потому что оно связывает квадраты синуса и косинуса одного угла. Уточнение, что угол острый, понадобится при выборе знака.
Ответ: cos α = 4/5. Проверка: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1, как и должно быть. Отрицательное значение косинуса не подходит условию об остром угле.
Условие. Упростите выражение (1 − sin²α) / cos α при cos α ≠ 0. В числителе есть разность 1 − sin²α, которую можно выразить через квадрат косинуса. Условие задачи позволяет сократить дробь на cos α.
Ответ: cos α. Сокращение было бы недопустимо при cos α = 0, поэтому условие здесь не формальность, а необходимая часть решения. Замена числителя тождеством позволила перейти к более простому выражению.
Условие. Найдите tg α, если cos α = 5/13 и α — острый угол. Одного косинуса недостаточно для прямой подстановки в определение тангенса: нужно знать ещё синус. Сначала найдём его через основное тождество, а затем используем отношение синуса к косинусу.
Ответ: tg α = 12/5. Знак синуса выбран из условия об остром угле. Косинус не равен нулю, поэтому тангенс определён.
При делении основного тождества на cos²α иногда забывают, что cos α должен быть отличен от нуля. Ошибка появляется потому, что деление воспринимают как обычный шаг преобразования, не проверяя знаменатель. Перед применением формулы тангенса или равенства 1 + tg²α = 1 / cos²α убедитесь, что cos α ≠ 0.
Похожая ошибка возникает при делении на sin²α и использовании котангенса: забывают условие sin α ≠ 0. Тогда в выражении появляется деление на ноль, а котангенс для такого угла не определён. Проверьте знаменатель в определении ctg α и в формуле 1 + ctg²α = 1 / sin²α.
Иногда после извлечения корня из равенства cos²α = a сразу записывают только cos α = √a. Но квадрат теряет информацию о знаке, поэтому возможны оба значения: √a и −√a. Выбирайте знак с учётом угла и условия задачи; для острого угла синус и косинус положительны.
Тангенс и котангенс могут перепутать местами, записав синус в знаменателе вместо косинуса или наоборот. Обычно это происходит из-за того, что обе величины выглядят как дробь из синуса и косинуса. Сверяйте определения: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α.
Для понимания этих тождеств нужны теорема Пифагора и определения синуса и косинуса угла прямоугольного треугольника. При выводе следствий пригодятся умения делить дроби и выражения, возводить величины в квадрат и извлекать квадратный корень. Сами тождества помогают преобразовывать тригонометрические выражения и находить неизвестные синус, косинус, тангенс или котангенс. Поэтому важно не только запомнить формулы, но и проверять условия их применения.
Почему sin²α + cos²α равно единице?
Если стороны прямоугольного треугольника, прилежащий катет и противолежащий катет, разделить на гипотенузу, получится sin α и cos α. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, поэтому sin²α + cos²α = 1.
Всегда ли основное тригонометрическое тождество верно?
Да, равенство sin²α + cos²α = 1 верно для любого угла α. При этом тангенс и котангенс определены не для всех углов.
При каких углах нельзя вычислить тангенс или котангенс?
Тангенс нельзя вычислить, когда cos α = 0, то есть при α = π/2 + πk, где k — целое число. Котангенс не определён при sin α = 0, то есть при α = πk.
Как найти косинус, если известен синус угла?
Из основного тождества получаем cos²α = 1 − sin²α, а затем извлекаем квадратный корень. Выбираем знак косинуса по самому углу: например, у острого угла косинус положителен.
Почему при извлечении корня нельзя всегда брать только положительное значение?
Если cos²α = a, то возможны cos α = √a и cos α = −√a. Квадрат числа не показывает его знак, поэтому нужно знать, в какой части плоскости расположен угол, или иметь другое условие, например, что угол острый.
68. Основные тригонометрические тождества
