67. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого прямой; два остальных угла острые. Прямой угол равен 90°, а острые углы меньше 90°. Это определение помогает сразу понять, какие свойства треугольника можно использовать при решении задачи.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она одна, и её положение определяют именно по прямому углу, а не по длине или расположению на рисунке. Это нужно, чтобы не перепутать её с катетами.

Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. Их можно представить как стороны, сходящиеся в вершине прямого угла. Название катета важно уточнять, когда нужно связать его с одним из острых углов.

Противолежащий катет — катет, лежащий напротив выбранного острого угла; второй катет прилежит к этому углу. Противолежащий катет не касается вершины выбранного угла, а прилежащий образует этот угол вместе с гипотенузой. Такое различие позволяет правильно сопоставлять стороны и углы.

Как это устроено

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один из этих углов уже занимает 90°, поэтому на два острых остаётся 180° − 90° = 90°. Если один острый угол увеличивается, второй должен уменьшиться, чтобы их сумма осталась равной 90°.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего — меньшая. В прямоугольном треугольнике это правило можно применить к каждому острому углу и лежащему напротив него катету. Поэтому достаточно сравнить катеты: большему из них соответствует больший острый угол. Сравнивать для этого нужно именно противолежащие катеты, потому что стороны напротив углов и определяют их величину.

Прямой угол больше любого острого угла, ведь острые углы меньше 90°. Напротив прямого угла находится гипотенуза, а напротив каждого острого — катет. По правилу «против большего угла лежит большая сторона» гипотенуза больше каждого катета. Значит, самую длинную сторону прямоугольного треугольника можно определить без вычислений.

Пусть один острый угол равен 30°. Тогда второй равен 60°, потому что сумма острых углов составляет 90°. Проведём медиану из вершины прямого угла к гипотенузе, то есть отрезок к её середине. Середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин треугольника, поэтому получаются равные отрезки и равнобедренные треугольники. Из этого следует, что катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.

Верно и обратное утверждение: если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол 30°. Действительно, такое отношение сторон соответствует прямоугольному треугольнику, в котором меньший острый угол равен 30°, а второй — 60°. Это позволяет находить угол по известным длинам, даже если значение угла не дано в условии.

Соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника

Сначала определи, что известно в задаче: углы или стороны. Затем найди подходящую строку и проверь, что катет сопоставляется именно с углом напротив него. Для вычисления второго катета при известных гипотенузе и одном катете пригодится теорема Пифагора.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 38°. Найдите второй острый угол. Сначала вспомним, что два острых угла вместе составляют 90°. Поэтому искать второй угол нужно вычитанием известного угла из 90°.

1. Запишем сумму острых углов: 90°.
2. Вычтем известный угол: 90° − 38° = 52°.
3. Проверим: 38° + 52° = 90°.

Ответ: 52°. Проверка подтверждает, что оба острых угла в сумме дают 90°.

Задача 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Определите, какой острый угол больше. Сравним не углы с прилежащими сторонами, а каждый угол с катетом, лежащим напротив него. Более длинный из катетов будет противолежащим для большего острого угла.

1. Сравним катеты: 12 см больше 5 см.
2. Катет длиной 12 см лежит напротив большего острого угла по правилу о сторонах и углах треугольника.
3. Катет длиной 5 см лежит напротив меньшего острого угла.

Ответ: больше тот острый угол, напротив которого лежит катет длиной 12 см. Без рисунка нельзя назвать его, например, углом A или B, поэтому ориентируемся на сторону, которая ему противолежит.

Задача 3. Гипотенуза равна 18 см, один катет — 9 см. Найдите угол напротив этого катета и второй катет. Девять сантиметров — половина от 18 см, поэтому сначала можно определить угол. Для второго катета воспользуемся теоремой Пифагора.

1. Проверим отношение: 18 : 2 = 9 см. Данный катет равен половине гипотенузы.
2. По обратному утверждению напротив него лежит угол 30°.
3. Обозначим второй катет через x и запишем теорему Пифагора: x² + 9² = 18².
4. Получаем x² = 324 − 81 = 243, значит, x = √243 = 9√3 см.

Ответ: угол равен 30°, второй катет равен 9√3 см. Корень выбираем положительный, так как длина стороны не может быть отрицательной.

Типичные ошибки

Иногда катет напротив прямого угла называют гипотенузой, а одну из двух других сторон — катетом. Ошибка появляется, если стороны называют на глаз, не проверяя угол между ними. Проверь себя: гипотенуза всегда лежит напротив угла 90°, а катеты образуют этот угол.

При сравнении острых углов могут смотреть на прилежащие к ним катеты. Так делать нельзя: связь «больший угол — большая сторона» относится к стороне, лежащей напротив угла. Чтобы проверить себя, мысленно проведи от выбранного угла сторону к противоположной вершине и найди противолежащий катет.

Ещё одна ошибка — считать, что катет напротив угла 30° равен половине другого катета. В этом свойстве речь идёт о половине гипотенузы, то есть стороны напротив прямого угла. Проверь, какую именно сторону ты делишь пополам: если это не гипотенуза, правило применено неверно.

Не путай прямое и обратное утверждения: катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, и, наоборот, катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла 30°. Это не значит, что угол 30° прилежит к такому катету. Чтобы избежать ошибки, сначала определи, какой именно угол расположен напротив известного катета.

Связь с другими темами

Для работы с прямоугольным треугольником нужны сумма углов треугольника, свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Связь величины угла и противоположной стороны основана на свойствах любого треугольника. Соотношения между сторонами и углами помогают находить неизвестные величины в геометрических задачах. Они также применяются при решении задач на подобие треугольников, когда сравнивают соответствующие углы и стороны.

Что запомнить

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Напротив большего угла лежит большая сторона.
• Гипотенуза больше каждого катета.
• Напротив угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол 30°.
• Большему острому углу соответствует больший противолежащий катет.