"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Синус, косинус, тангенс и котангенс связывают величину острого угла прямоугольного треугольника с отношениями его сторон. Эти отношения не меняются, если увеличить или уменьшить весь треугольник: они зависят только от угла. Зная их определения, можно находить неизвестные стороны, сравнивать углы и решать прямоугольные треугольники. Главное — сначала выбрать угол и определить, какие катеты лежат напротив него и рядом с ним.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Запись sin α читают «синус угла альфа»; она помогает выразить связь угла с двумя сторонами треугольника. Синус используют, когда известны или нужны катет напротив угла и гипотенуза.
Косинус острого угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Обозначение cos α читают «косинус угла альфа». Оно удобно, если рассматривают катет, который образует выбранный угол, и гипотенузу.
Тангенс острого угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет. Сокращение tg читают «тангенс», а запись tg α означает тангенс угла альфа. Это отношение связывает два катета и не требует знания гипотенузы.
Котангенс острого угла α — отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет. Обозначение ctg α читают «котангенс угла альфа». Оно задаёт отношение катетов в обратном порядке по сравнению с тангенсом, поэтому эти величины помогают перейти от одного катета к другому.
Представим два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом α. Они подобны: у обоих есть прямой угол, а ещё один угол равен α, значит, и третий угол совпадает. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны, поэтому отношения соответствующих катетов и гипотенуз остаются одинаковыми. Значит, sin α и cos α, как и отношения катетов tg α и ctg α, задаются величиной угла, а не размером треугольника.
Чтобы составить нужное отношение, сначала отметь выбранный острый угол. Гипотенуза лежит напротив прямого угла, противолежащий катет — напротив выбранного острого угла, а прилежащий катет касается его и не является гипотенузой. После этого для синуса возьми противолежащий катет и гипотенузу, для косинуса — прилежащий катет и гипотенузу. Для тангенса раздели противолежащий катет на прилежащий, а для котангенса поменяй их местами.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — самая длинная сторона: она лежит напротив прямого угла. Поэтому любой катет короче гипотенузы, и отношение катета к гипотенузе положительно, но меньше единицы. Так устроены и синус, и косинус острого угла: 0 < sin α < 1 и 0 < cos α < 1. Это даёт простой способ проверить, не перепутано ли отношение: результат для синуса или косинуса не должен превосходить 1.
Острые углы α и β прямоугольного треугольника в сумме составляют 90°, потому что вместе с прямым углом все три угла дают 180°. Катет, который противолежит α, прилежит к β, а гипотенуза остаётся той же. Поэтому отношение этого катета к гипотенузе одновременно равно sin α и cos β; аналогично cos α = sin β. При смене угла роли катетов меняются, откуда также следуют tg α = ctg β и ctg α = tg β.
Связи между четырьмя отношениями можно получить, не вводя новых сторон. Разделим определение синуса на определение косинуса: (противолежащий катет / гипотенуза) / (прилежащий катет / гипотенуза). Гипотенуза сокращается, и остаётся tg α = sin α / cos α. Если разделить косинус на синус, получится ctg α = cos α / sin α; тем самым тангенс и котангенс одного угла являются взаимно обратными отношениями.
| Отношение | Определение через стороны | Связь с отношением дополнительного угла |
|---|---|---|
| sin α | противолежащий катет / гипотенуза | sin α = cos β |
| cos α | прилежащий катет / гипотенуза | cos α = sin β |
| tg α | противолежащий катет / прилежащий катет | tg α = ctg β |
| ctg α | прилежащий катет / противолежащий катет | ctg α = tg β |
В таблице α и β — два острых угла одного прямоугольного треугольника, поэтому α + β = 90°. Сначала найди в столбце определения нужное отношение, а затем используй последний столбец, если известен другой острый угол. Перед подстановкой обязательно установи, какой катет противолежит именно выбранному углу.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а катет, противолежащий углу α, — 6. Найти sin α. Здесь уже даны обе стороны из определения синуса, поэтому дополнительные вычисления не нужны. Нужно лишь записать отношение в правильном порядке.
Ответ: sin α = 3/5.
Задача 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найти тангенс и котангенс каждого острого угла. Сначала рассмотрим угол, напротив которого лежит катет длиной 5: другой катет, длиной 12, прилежит к этому углу. Для второго острого угла роли катетов меняются, поэтому отношения получатся обратными.
Ответ: для угла напротив катета 5 тангенс равен 5/12, котангенс — 12/5; для угла напротив катета 12 тангенс равен 12/5, котангенс — 5/12.
Задача 3. Гипотенуза равна 13, один катет — 5. Найти sin, cos, tg и ctg меньшего острого угла. Сначала понадобится второй катет: по теореме Пифагора его квадрат равен 13² − 5². Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета, то есть катета длиной 5.
Ответ: sin α = 5/13, cos α = 12/13, tg α = 5/12, ctg α = 12/5.
Первая ошибка — перепутать противолежащий и прилежащий катеты. Это случается, когда стороны называют без указания, относительно какого угла их рассматривают: при переходе к другому острому углу роли катетов меняются. Перед вычислением отметь нужный угол и проверь, какая сторона лежит напротив него. Если угол изменили, заново определи оба катета.
Вторая ошибка — назвать гипотенузу прилежащим катетом. Гипотенуза действительно образует стороны с каждым острым углом, но катетом она не становится: она лежит напротив прямого угла. Проверить себя можно по длинам: гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника. В определениях синуса и косинуса её указывают отдельно.
Третья ошибка — переставить числитель и знаменатель в тангенсе или котангенсе. Их названия легко перепутать, потому что в обоих участвуют одни и те же катеты. Запомни порядок: tg α — противолежащий к прилежащему, ctg α — наоборот. Для проверки перемножь полученные значения: тангенс и котангенс одного угла должны дать 1.
Четвёртая ошибка — считать, что sin α = cos α для любого острого угла. Равенство верно, когда острые углы равны: тогда каждый равен 45°, а прямоугольный треугольник равнобедренный. Причина возможной путаницы в том, что синус и косинус оба связывают катет с гипотенузой, но используют разные катеты. Проверь равенство по сторонам: оно получится лишь при равных катетах.
Для работы с отношениями сторон нужны знания об элементах прямоугольного треугольника и теореме Пифагора: с её помощью находят недостающую сторону. Подобие объясняет, почему при одном и том же угле отношения сторон не меняются. Эти знания применяют при решении прямоугольных треугольников и нахождении неизвестных сторон. Они также служат основой дальнейшего изучения тригонометрических функций и помогают вычислять расстояния и высоты по геометрическим данным.
Как понять, какой катет считать противолежащим, а какой прилежащим?
Сначала выберите острый угол. Катет напротив него — противолежащий, а катет, который образует угол вместе с гипотенузой, — прилежащий. Для другого острого угла эти катеты поменяются ролями.
Почему синус и косинус зависят только от угла, а не от размеров треугольника?
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. При увеличении треугольника все его стороны увеличиваются в одинаковое число раз, поэтому отношение катета к гипотенузе остаётся прежним.
Чем тангенс отличается от котангенса?
Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — обратное отношение. Поэтому для одного угла их произведение равно 1.
Как связаны синус и косинус двух острых углов прямоугольного треугольника?
Два острых угла в сумме дают 90°, то есть являются дополнительными. Синус одного такого угла равен косинусу другого: sin α = cos β.
Можно ли найти все четыре отношения угла, если известны только катеты?
Да. Тангенс и котангенс находятся прямо по катетам, а для синуса и косинуса сначала вычисляют гипотенузу по теореме Пифагора. Затем выбирают нужный угол и подставляют стороны в определения.
4.4. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
