"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону по двум известным, вычисляют диагонали прямоугольника и квадрата. Обратная теорема позволяет по длинам трёх сторон определить, является ли треугольник прямоугольным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°. Обычно прямой угол обозначают знаком маленького квадрата, а вершины треугольника — буквами A, B и C. Такое обозначение помогает сразу определить, какие стороны являются катетами и гипотенузой.
Катеты — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. Если прямой угол находится при вершине C, то катетами будут стороны AC и BC. В формулах их часто обозначают буквами a и b.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Она соединяет две вершины, в которых прямого угла нет, и обозначается буквой c. Гипотенуза длиннее каждого катета, потому что её квадрат равен сумме квадратов положительных катетов.
Теорема Пифагора — утверждение о связи квадратов сторон прямоугольного треугольника. Она позволяет найти неизвестную сторону, если известны две другие. Для обозначений a, b и c её записывают так: c² = a² + b².
Построим на каждой стороне прямоугольного треугольника квадрат. На гипотенузе получится квадрат со стороной c и площадью c², а на катетах — квадраты площадями a² и b². Теорема утверждает, что площадь большого квадрата равна сумме площадей двух других: c² = a² + b². Поэтому речь идёт не просто о длинах сторон, а о точном равенстве площадей построенных квадратов.
В буквенной записи гипотенуза обозначается отдельно, потому что она занимает особое место: лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Катеты входят в правую часть равенства как два слагаемых, а гипотенуза — в левую часть как одна сторона. Если известны a и b, гипотенузу находят по формуле c = √(a² + b²).
Чтобы найти катет, нужно преобразовать исходное равенство. Например, из c² = a² + b² получаем a² = c² − b²: квадрат второго катета переносится в другую часть с противоположным знаком. После этого извлекают квадратный корень: a = √(c² − b²). Берут положительное значение, поскольку длина стороны не бывает отрицательной.
Диагональ прямоугольника образует с двумя его сторонами прямоугольный треугольник. Сами стороны прямоугольника становятся катетами, а диагональ — гипотенузой, поэтому d² = a² + b² и d = √(a² + b²). Для квадрата с side a обе стороны такого треугольника равны a, значит, диагональ равна √(a² + a²) = a√2.
Обратная теорема работает в противоположном направлении. Если в треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух остальных сторон, то угол напротив большей стороны прямой. Поэтому по длинам сторон можно не только использовать теорему, но и проверять, является ли треугольник прямоугольным.
| Что известно | Что требуется найти | Запись или действие |
|---|---|---|
| Длины катетов a и b | Длину гипотенузы c | c = √(a² + b²) |
| Длина гипотенузы c | Связь с катетами | c² = a² + b² |
| Длины гипотенузы c и катета b | Второй катет a | a = √(c² − b²) |
| Длины всех трёх сторон треугольника | Проверить, прямоугольный ли он | Для большей стороны c проверить c² = a² + b² |
| Диагональ прямоугольника со сторонами a и b | Её длину d | d = √(a² + b²) |
Сначала определите, какие стороны являются катетами, а какая — гипотенузой. Затем выберите подходящую строку таблицы и подставьте известные длины. В конце проверьте, что единицы измерения одинаковы и результат имеет смысл.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Нужно найти гипотенузу. Известны оба катета, поэтому используем формулу для c.
Ответ: гипотенуза равна 10 см.
Гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Требуется найти второй катет. Неизвестный катет обозначим a, а известный катет — b = 5 см.
Ответ: второй катет равен 12 см.
Стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см. Чтобы проверить прямоугольность, берём большую сторону 15 см за возможную гипотенузу. Затем сравниваем её квадрат с суммой квадратов двух других сторон.
Ответ: треугольник прямоугольный, его гипотенуза равна 15 см.
Иногда гипотенузой считают просто самую длинную сторону, не проверяя расположение углов. Действительно, в прямоугольном треугольнике она самая длинная, но сначала нужно найти угол 90° и выбрать сторону напротив него. Самопроверка: проведите мысленно или на чертеже линию напротив прямого угла.
Другая ошибка — складывать квадраты гипотенузы и катета или помещать гипотенузу в сумму. В теореме только катеты образуют сумму, а c² стоит отдельно: c² = a² + b². Проверьте, что буква c обозначает сторону напротив прямого угла.
При поиске катета некоторые складывают квадраты вместо вычитания. Из равенства c² = a² + b² следует a² = c² − b², потому что известный катет убирают из суммы. Если получили квадрат катета больше c², вычисление неверно.
Можно выполнить все действия правильно, но забыть извлечь корень или записать отрицательную длину. Равенство a² = 144 означает a = 12, а не 144 и не −12. После решения проверьте ответ подстановкой в теорему и оставьте положительное значение.
Перед изучением теоремы нужны навыки возведения чисел в квадрат и извлечения квадратного корня. Эти действия позволяют переходить от равенства квадратов к длинам сторон.
Также необходимо распознавать прямой угол и различать катеты с гипотенузой. Без этого легко выбрать неправильные стороны и получить неверную формулу.
Теорема связана с вычислением диагоналей и расстояний. Она применяется в задачах о прямоугольниках и квадратах, а также в практических измерениях, когда длину нельзя определить прямым измерением.
Почему гипотенуза всегда длиннее катетов?
По теореме Пифагора c² = a² + b². Значит, квадрат гипотенузы больше квадрата каждого катета, поэтому и сама гипотенуза длиннее каждого из них.
Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, напрямую теорема применяется только к прямоугольному треугольнику. Для произвольного треугольника эта формула обычно неверна.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Из формулы c² = a² + b² выразите неизвестный катет: a² = c² − b². Затем найдите длину катета: a = √(c² − b²).
Как проверить по длинам сторон, что треугольник прямоугольный?
Выберите большую сторону и обозначьте её c. Если выполняется равенство c² = a² + b², то по обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный.
Как теорема Пифагора помогает найти диагональ прямоугольника?
Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой. Поэтому при сторонах a и b диагональ равна d = √(a² + b²).
4.3. Теорема Пифагора
