"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Среднее арифметическое двух отрезков получают как половину суммы их длин, а среднее геометрическое — как квадратный корень из произведения длин. Эти величины помогают сравнивать отрезки и строить новые отрезки заданной длины. Среднее геометрическое является средним пропорциональным, а в геометрии связано с высотой прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу. Для положительных длин оно не превосходит среднего арифметического.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Среднее арифметическое двух отрезков длины a и b — это отрезок длины (a + b) / 2. Иными словами, сначала складывают длины исходных отрезков, а затем берут половину полученной суммы. Такое среднее удобно, когда нужно заменить две величины одной, сохранив их обычный суммарный уровень.
Среднее геометрическое двух отрезков длины a и b — это отрезок длины √(ab). Здесь a и b должны быть положительными, потому что длина отрезка не бывает отрицательной, а построение опирается на произведение положительных чисел. Среднее геометрическое связывает две длины не сложением, а умножением.
Средним пропорциональным двух отрезков называют отрезок длины x, для которого a / x = x / b. Из этой пропорции следует x² = ab, а значит, при положительной длине x = √(ab). Поэтому среднее пропорциональное — другое название среднего геометрического.
Геометрическая интерпретация показывает смысл этих формул. Среднее арифметическое получается как половина суммы двух длин, а среднее геометрическое можно получить как высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе. Если эта высота делит гипотенузу на отрезки a и b, её длина равна √(ab).
Чтобы построить среднее арифметическое, отложим два исходных отрезка последовательно на одной прямой. Получится общий отрезок длины a + b. Если разделить его пополам, каждая половина будет иметь длину (a + b) / 2, потому что две равные части вместе дают всю сумму длин.
Для построения среднего геометрического отрезки a и b также располагают последовательно на одной прямой. На их общей длине как на диаметре строят полуокружность, а из точки соединения отрезков проводят перпендикуляр до пересечения с полуокружностью. Полученный перпендикуляр становится высотой прямоугольного треугольника, и именно его длина равна √(ab).
Причина такого результата связана с подобием прямоугольных треугольников. Высота к гипотенузе образует два маленьких треугольника, подобных исходному треугольнику и друг другу. Из соответствия их сторон получается h / a = b / h, поэтому h² = ab, а при h > 0 имеем h = √(ab).
Средние можно сравнить не только по построению, но и по формуле: √(ab) ≤ (a + b) / 2. Равенство достигается тогда, когда a = b; если длины различны, среднее геометрическое меньше. В задаче сначала определяют, какое среднее требуется найти, затем выбирают формулу или геометрическую конструкцию и проверяют смысл результата.
| Характеристика | Среднее арифметическое | Среднее геометрическое |
|---|---|---|
| Обозначение длин исходных отрезков | a и b | a и b, где a > 0 и b > 0 |
| Формула длины | (a + b) / 2 | √(ab) |
| Геометрический способ построения | Общую длину a + b делят пополам | Проводят высоту к гипотенузе полуокружности |
| Условие равенства исходным отрезкам | a = b | a = b |
| Сравнение двух средних | (a + b) / 2 ≥ √(ab) | √(ab) ≤ (a + b) / 2 |
В таблице сначала находите строку с нужной характеристикой, а затем сравниваете формулы или способы построения. Если требуется вычислить среднее, подставьте длины a и b в соответствующую формулу. Для проверки можно оценить результат: среднее геометрическое не должно превышать среднее арифметическое.
Нужно найти половину суммы длин, поэтому используется формула среднего арифметического. Обозначим исходные длины: a = 6 см и b = 10 см. После сложения делим результат на два, так как среднее арифметическое является одной из двух равных частей общей длины.
Ответ: среднее арифметическое равно 8 см.
Для вычисления достаточно применить формулу √(ab), а для построения — использовать полуокружность. Удобно сначала узнать длину искомого отрезка, чтобы проверить правильность чертежа. Подставляем a = 4 см и b = 9 см.
Ответ: среднее геометрическое равно 6 см, и построенный перпендикуляр имеет такую же длину.
Высота к гипотенузе является средним геометрическим двух частей гипотенузы. Поэтому сначала находим её через произведение 4 · 9, а затем вычисляем среднее арифметическое через сумму этих частей. Сравнение покажет, какое из средних больше.
Ответ: высота равна 6 см, среднее арифметическое равно 6,5 см; высота меньше среднего арифметического.
Первая ошибка — находить среднее геометрическое по формуле (a + b) / 2. Так происходит из-за смешения названий средних. Проверьте себя: если в формуле есть сумма и деление на два, это среднее арифметическое, а для геометрического нужны произведение и квадратный корень.
Иногда произведение ab принимают за длину среднего геометрического и забывают извлечь корень. Но произведение равно квадрату искомой длины: x² = ab. Значит, после умножения обязательно нужно вычислить √(ab) и проверить единицы измерения.
Нельзя бездумно применять формулу к отрезку нулевой или отрицательной длины. В геометрии длины отрезков положительны, поэтому условия a > 0 и b > 0 должны выполняться. Если один из отрезков не имеет положительной длины, построение и обычный смысл среднего геометрического нарушаются.
Ещё одна ошибка — считать среднее геометрическое большим среднего арифметического. Для положительных a и b верно обратное неравенство: √(ab) ≤ (a + b) / 2. При равных отрезках значения совпадают, а при разных среднее геометрическое меньше.
Перед изучением темы нужно уверенно выполнять действия с дробями и квадратными корнями. Также пригодится свойство пропорции, потому что из равенства a / x = x / b выводится формула среднего геометрического.
Построение среднего геометрического опирается на подобие прямоугольных треугольников и свойство высоты к гипотенузе. Эти факты объясняют, почему геометрическая конструкция действительно даёт длину √(ab), а не просто похожий отрезок.
Тема используется в задачах на прямоугольный треугольник, пропорциональные отрезки и сравнение числовых величин. Умение различать два средних помогает быстро выбрать нужную формулу и проверить ответ.
Чем среднее геометрическое отличается от среднего арифметического?
Среднее арифметическое длин a и b равно (a + b) / 2, то есть половине их суммы. Среднее геометрическое равно √(ab), то есть квадратному корню из произведения длин.
Почему среднее геометрическое двух отрезков равно квадратному корню из их произведения?
Если x — среднее пропорциональное, то a / x = x / b. По основному свойству пропорции x² = ab, а при положительной длине x = √(ab).
Как построить среднее геометрическое циркулем и линейкой?
Отложите отрезки a и b последовательно на одной прямой и постройте полуокружность на их общей длине как на диаметре. Из точки соединения отрезков проведите перпендикуляр до пересечения с полуокружностью: его длина равна √(ab).
Почему высота прямоугольного треугольника к гипотенузе связана со средним геометрическим?
Высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки a и b. Из подобия треугольников следует равенство h² = ab, поэтому h = √(ab), то есть высота является средним геометрическим этих отрезков.
Когда среднее арифметическое и среднее геометрическое равны?
Для положительных длин равенство √(ab) = (a + b) / 2 выполняется только при a = b. Если отрезки различны, среднее геометрическое меньше среднего арифметического.
4.2. Среднее геометрическое и среднее арифметическое двух отрезков
